p ∈ P ; p > 3

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2  (k ∈ N*)

xét p = 3k+1

=> p + 8 = 3k + 1 + 8

=> p + 8 = 3k + 9 ⋮ 3 là hợp số

xét p = 3k + 2

=> p + 4 = 3k + 2 + 4

=> p + 4 = 3k + 6 ⋮ 3 là hợp số      ;         mà theo đề bài    p + 4 là số nguyên số 

=> p = 3k + 2 (loại)

vậy p + 8 là hợp số 

p ∈ P ; p > 3

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2  (k ∈ N*)

xét p = 3k+1

=> p + 8 = 3k + 1 + 8

=> p + 8 = 3k + 9 ⋮ 3 là hợp số

xét p = 3k + 2

=> p + 4 = 3k + 2 + 4

=> p + 4 = 3k + 6 ⋮ 3 là hợp số      ;         mà theo đề bài    p + 4 là số nguyên số 

=> p = 3k + 2 (loại)

vậy p + 8 là hợp số 

Vì p > 3

=>p có 2 dạng là 3k+1 và 3k+2

Xét p=3k+1=>p+4=3k+1+4=3k+5=3.(k+1)+2 là số nguyên tố.=>p+8=3k+1+8=3k+9=3.(k+3) là hợp số

Xét p=3k+2=>p+4=3k+2+4=3k+6=3.(k+2) là hợp số( loại)

Vậy p+8 là hợp số

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p có 2 dạng là 3k+1 và 3k+2

*Xét p=3k+1=>p+4=3k+1+4=3k+5=3.(k+1)+2 là số nguyên tố.

=>p+8=3k+1+8=3k+9=3.(k+3) là hợp số

*Xét p=3k+2=>p+4=3k+2+4=3k+6=3.(k+2) là hợp số(vô lí)

Vậy p+8 là hợp số

Nếu p chia 3 dư 2 => p + 4 chia hết cho 3

=> p chia 3 dư 1

=> p + 8 chia hết cho 3

=> dpcm

Giả sử p là 1 số nguyên tố >3, do p không chia hết cho 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 nhưng do p +4 là số nguyên tố nên p không thể có dạng 3k + 2 vậy p có dạng 3k +1. Vậy p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên nó là hợp số. 

Giả sử p là 1 số nguyên tố >3, do p không chia hết cho 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 nhưng do p +4 là số nguyên tố nên p không thể có dạng 3k + 2 vậy p có dạng 3k +1. Vậy p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên nó là hợp số. 
Câu 2: chắc có vấn đề ... đã nguyên tố còn chia hết cho 6 
Câu 3: 3 là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta cần c/m với các số nguyên tố p> 3 không có số nào thỏa mãn yêu cầu: 
số p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (nếu có dạng 3k sẽ chia hết cho 3) 
Nếu p có dạng 3k + 1 thì p+2 chia hết cho 3 nên không thỏa mãn 
Nếu p có dạng 3k+2 thì p+10 chia hết cho 3 nên không thỏa mãn 

 Đem p chia cho 3 sẽ xảy ra 3 khả năng về số dư , số dư chỉ có thể là 0,1,2 . Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 . Nhưng p+4 là số nguyên tố nên p không thể có dạng 3k+2 \(=>\)p có dạng 3k+1\(=>p+8=3k+9\).Mà 3k+9 \(⋮\)3 nên p+8 \(⋮\)3 (3 là số nguyên tố) . Vậy p+8 là hợp số nếu  p và p+4 là số nguyên tố (p>3)