Gọi N là trung điểm của BH.

HK là đường trung bình của tam giác ADC => HK=AD/2 (1)

MN là đường trung bình của tam giác AHB =>  MN=AB/2 (2)

Mà tứ giác ABCD là HCN => AB=AD=BC=CD (3)

Từ (1); (2) và (3) => HK=MN.

Ta có: Tam giác MHN vuông cân tại H = >HM=HN => HM=NB.

Xét tam giác MNB = Tam giác KHM  (c.g.c)

=> ^MBN=^KMH (2 góc tương ứng).

Lại có: ^NMB+^MBN=45⁰ => ^NMB+^KMH=45⁰.

Mà ^HMN=45⁰ => ^NMB+^KMH+^HMN=90⁰ <=> ^KMB=90⁰

=> BM vuông MK *đpcm*

Tự vẽ hình nha :)

Gọi N là trung điểm của BH suy ra MN là đường trung bình của t/g ABH

Ta có : MN // AB và MN = 1/2 AB

Mà CK // AB và CK = 1/2 CD = 1/2 AB suy ra CK = MN

Nên MNCK là hình bình hành

Suy ra CK // MN   ( 1 )

Vì MN // AB , AB vuông góc với BC nên MN vuông góc với BC

Suy ra N là trực tâm của tam giác BCM ; CN vuông góc với BM  ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra MK vuông góc với BM hay BM vuông góc với MK ( đpcm )

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC, AD // BC

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (So le trong)

Xét hai tam giác vuông IDA và HBC có:

AD = BC (cmt)

\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (cmt)

Do đó: \(\Delta IDA=\Delta HBC\) (ch-gn)

\(\Rightarrow ID=HB\)

Tứ giác IBHD có ID = HB và ID // HB (cùng vuông góc với AC)

nên là hình bình hành.

Mặt khác, trong hình bình hành IBHD có O là trung điểm của IH nên O là tâm của hình bình hành IBHD. Do đó đường chéo BD đi qua O và OD = OB (IBHD là hình bình hành) hay B đối xứng với D qua O.

b) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BH.

Trong \(\Delta HAB\) có: M trung điểm AH, E trung điểm BH nên ME là đường trung bình của \(\Delta HAB.\)

\(\Rightarrow ME//AB,ME=\dfrac{1}{2}AB\)

Mà KC // AB (CD//AB), \(KC=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}AB\) nên ME // KC, ME = KC.

Do đó tứ giác MECK là hình bình hành, suy ra MK // EC.

Ta có: ME // AB, \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow ME\perp BC\)

Xét tam giác BMC có \(BH\perp MC,ME\perp BC\) nên E là trực tâm của tam giác BMC, suy ra \(EC\perp MB\).

Mặt khác EC // MK nên \(MK\perp MB.\)