Gọi ƯCLN ( 2n + 3 , 3n + 5 ) = d.

Ta có : 2n + 3 chia hết cho d.

           3n + 5 chia hết cho d.

=> 3( 2n + 3 ) chia hết cho d.

=> 2(3n + 5 ) chia hết cho d.

=> 6n + 9 chia hết cho d.

=> 6n +10 chia hết cho d.

Vậy ( 6n + 10 ) - ( 6n + 9 ) chia hết cho d.

      = 1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư ( 1 )

=> d = 1

Vì ƯCLN ( 2n + 3 , 3n + 5 ) = 1

Nên 2n + 3 và 3n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

gọi d là ƯCLN (2n+3;3n+5) (với n thuộc N*)

suy ra  2n+3 chia hết cho d } 3(2n+3) chia hết cho d } 6n+9 chia hết cho d

           3n+5 chia hết cho d }  2(3n+5) chia hế cho d } 6n+10 chia hết cho d

suy ra [(6n+10) -(6n+9) chia hết  cho d

        =[(6n-6n)+(10-9)] chia hết cho d

        =[0+1] chia hết cho d

        =1 chia hết cho d

vì 1 chia hết cho d suy ra ƯCLN(2n+3,3n+5)=1

Giải:

Gọi \(d=UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\)

Ta có:

\(3n+2⋮d\)

\(5n+3⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(3n+2\right)⋮d\)

\(3\left(5n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10⋮d\)

\(15n+9⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10-15n+9⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow UCLN\left(3n+2;5n+3\right)=1\)

\(\Rightarrow\)3n + 2 và 5n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Vậy 3n + 2 và 5n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN(3n+2,5n+3)

Ta có : \(\begin{cases}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}5\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(5n+3\right)⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(15n+10\right)-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10-15n-9⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(3n+2,5n+3\right)=1\)

Vậy : 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau .

a) Gọi d là ƯC( 7n + 10 ; 5n + 7 ) 

=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(7n+10\right)⋮d\\7\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

=> ( 35n + 50 ) - ( 35n + 49 ) chia hết cho d

=> 35n + 50 - 35n - 49 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN( 7n + 10 ; 5n + 7 ) = 1

=> 7n + 10 ; 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

b) Gọi d là ƯC( 2n + 3 ; 4n + 8 )

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

=> ( 4n + 8 ) - ( 4n + 6 ) chia hết cho d

=> 4n + 8 - 4n - 6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d ∈ { 1 ; 2 }

Với d = 2 => \(2n+3⋮̸̸d\)

=> d = 1

=> ƯCLN( 2n + 3 ; 4n + 8 ) = 1

=> 2n + 3 ; 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

Đặt UCLN(n + 1 , 2n + 3) = d

n + 1 chia hết cho d => 2n + 2 chia hết  cho d

=> [(2n + 3) - (2n + 2) ] chia hết cho d 

1 chia hết cho d hay d = 1

Vậy (n + 1 , 2n + 3) = 1       (2 số nguyên tố cùng nhau)      

Gọi số cần tìm là d sao cho 2n+3 chia hết cho d ; n+1 Chia hết cho d suy ra d thuộc tập hợp ước chung lớn nhất của 2n+3 và n+1

2n+3 chia hết cho d ; n+1 chia hết cho d

2n+3 chia hết cho d suy ra :2n chia hết cho d

                                            :3 chia hết cho d    \(\Rightarrow\)  D=1

n+1 chia hết cho d suy ra : n chia hết cho d

                                          : 1 chia hết cho d\(\Rightarrow\)d = 1

từ phương trình trên suy ra d=1 

Hay ước chung lớn nhất của 2n+3 và n+1 

Vì hai số nguyên tố cùng nhau có ƯCLN là 1 lên 2n+3 và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

n=8 nha bạn

HT

Gọi ƯCLN(n + 1; 2n + 3) = d

Ta có : n + 1 chia hết cho d => 2(n + 1) chia hết cho d => 2n + 2 chia hết cho d

             2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 hoặc -1

=> n + 1 và  2n + 3 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(n + 1; 2n + 3) là d (d thuộc N*)

=> n + 1 chia hết cho d => 2(n + 1) chia hết cho d

     2n + 3 chia hết cho d 

=> (2n + 3) - 2(n + 1) chia hết cho d

=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 (Vì d thuộc N*)

=> ƯCLN(n + 1; 2n + 3) = 1

hay 2 số này nguyên tố cùng nhau

Vậy...

Đặt UCLN(n + 1 ; 2n  + 3) = d (1)

n + 1 chia hết cho d=> 2n  + 2 chia hết cho d

mà 2n + 3 chia hết cho d

=> [(2n +3)-(2n+2)] chia hết cho d

1 chia het cho d => d = 1

Thay d=  1 vào (1) ta có: UCLN(n + 1 ; 2n + 3) = 1

=> ĐPCM 

đặt \(\text{Ư}CLN_{\left(2n+7;2n+9\right)}=d\)  ( d  \(\in\) N^* )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\2n+9⋮d\end{cases}}\Rightarrow2n+9-\left(2n+7\right)⋮d\)

                                \(\Rightarrow2n+9-2n-7\)  \(⋮d\)

                                \(\Rightarrow2\)                                   \(⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\text{ }\left\{1;2\right\}\)

vì cả 2 số đều là số lẻ nên ko chia hết cho 2   \(\Rightarrow\) loại  \(d=2\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\text{Ư}CLN_{\left(2n+9;2n+7\right)}=1\)

vậy 2 số  \(2n+7\)và   \(2n+9\)   là 2 số nguyên tố cùng nhau

chúc bạn học giỏi ^^

tick cho mk thoát khỏi âm đi

Ta có: 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau

Gọi ước chung của 2 số này là d

=> 7n+10 chia hết cho d

=> 5n+7 chia hết cho d

=> 5(7n+10) chia hết cho d

=> 7(5n+7) chia hết cho d

=> 35n+ 50 chia hết cho d

=> 35n+ 49 chia hết cho d

=> 35n+50 - 35n+49 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc U( 1)

=>  d=1

=> Nguyên tố cùng nhau

Tick mình nha các bạn