Đặt [LATEX]A= \dfrac{2}{a^2+b^2}+ \dfrac{35}{ab}+2ab[/LATEX].
Áp dụng BĐT dạng [LATEX]\frac 1x+ \frac 1y \ge \frac{4}{x+y} \; \; x,y>0[/LATEX] ta có 

[LATEX]\dfrac{4}{2(a^2+b^2)}+ \dfrac{4}{4ab} \ge \dfrac{4^2}{2(a+b)^2} \ge \frac 12 \qquad (1)[/LATEX].​

Áp dụng BĐT AM-GM ta có 

[LATEX]2ab+ \dfrac{32}{ab} \ge 16 \qquad (2)[/LATEX].​

Cuối cùng

[LATEX]\dfrac{2}{ab} \ge \frac 12 \qquad (3)[/LATEX].​

Cộng [LATEX](1)+(2)+(3)[/LATEX] ta thu được [LATEX]A \ge 17[/LATEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [LATEX]a=b=2[/LATEX].

Xét vế trái :

Do a,b,c >0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)

Xét vế phải ta có: a,b,c>0

Áp dụng bđt Cô-si:

\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)

\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\ge1\)(cộng 2 vế với \(x^2+y^2\))

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Áp dùng bất đẳng Cauchy-schwarz ta có:

\(x^4+y^4=\frac{x^4}{1}+\frac{y^4}{1}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\int^{x^2=y^2}_{x+y=1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

ta có \(A=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{4}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}+\frac{4}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\)

áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có 

\(\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\ge\frac{16}{x^2+y^2+2xy}=16\)

mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{1}{xy}\ge4\)

=> \(A\ge20\)

dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

Bài sau đây làm tôi không còn dám coi thường BĐT lớp 8:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(x\ge2,x+y\ge3\). Tìm Min:

\(A=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)

Nghĩ mãi mới ra cách AM-GM (hơn 10 phút, mấy lần đầu nhóm sai!), rồi viết lại thành SOS nên 15 phút mới xong..

\(A-\frac{35}{6}=\left(x-2\right)^2\left(1+\frac{1}{4x}\right)+\left(y-1\right)^2+\frac{\left(x+y-3\right)^2}{9\left(x+y\right)}+\left[\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x-\frac{55}{6}\right]\)

Cách AM-GM:

\(A=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+4x+2y-5\)

\(\ge\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}x\right)+\left(\frac{1}{x+y}+\frac{15}{4}x+2y-5\right)\)

\(\ge1+\left[\frac{1}{9}\left(x+y\right)+\frac{1}{x+y}\right]+\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x-5\ge\frac{35}{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=2;y=1\)

1. Ap dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của các biểu thức sau

a. \(y=\frac{x}{2}+\frac{18}{x},x\ge0\)

b.\(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1},x\ge1\)

c.\(y=\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1},x\ge-1\)

d. \(y=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1},x\ge\frac{1}{2}\)

e. y \(=\frac{x}{1-x}+\frac{5}{x},0\le x\le1\)

f. \(y=\frac{x^3+1}{x^2},x\ge0\)

g. \(y=\frac{x^2+4x+4}{x},x\ge0\)

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)

CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)

ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)

TA CÓ:

\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:

\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)

 \(x+y=4\Rightarrow\frac{x+y}{2}=2\Rightarrow\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\)

\(P.\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P=\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\)

\(x+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+4x\right)-3x\ge4-3x\)

\(y+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{y}+4y\right)-3y\ge4-3y\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}P\ge8-3\left(x+y\right)=8-3.4=-4\)

đến đay sau răng