Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)

\(\Rightarrow a=\frac{z+x}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}\)

Bài toán cần chứng minh:

\(\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{4x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4y}+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4z}\ge x+y+z\)

Ta có:

\(VT=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4xyz}\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4xyz}\left(x+y+z\right)xyz\)

\(=x+y+z=VP\)

Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)

Đặt \(x=b+c-a>0\)

      \(y=a+c-b>0\)

     \(z=a+b-c>0\)

\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)

\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)

\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)

\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)

\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)

\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)

Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)

Cộng 3 bdt trên, suy ra :

\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"

P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé

hmm..
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+b-c;b+c-a;c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\ge x+y+z\)

Ta có:\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\)

\(=\frac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\frac{xy+yz+y^2+zx}{4y}+\frac{zx+zy+z^2+xy}{4z}\)

\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{z^2x^2}{xyz}+\frac{x^2y^2}{xyz}\right)\)

\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3xyz}\right]\)\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{3xyz\left(x+y+z\right)}{3xyz}\right]\)

\(=x+y+z\)

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)

Bài này là bài chốt trong đề thi hsg toán 9 cấp huyện năm nay của đức thọ đó!

bạn vào Thư viện đề thi THCS Hoàng Xuân Hãn rồi bấm vào mục ở dưới dưới ak tên mục là

Đáp án đề thi hsg toán 9 huyện Đức Thọ năm  học 2018-2019 Đây là bài cuối của đề ak!

mk gửi hình rồi đó! bạn có thấy nó hiện ra chưa?