Giả sử aⁿ + bⁿ và ab là 2 số nguyên tố cùng nhau.

=> aⁿ + bⁿ và ab cùng chia hết cho 1 số nguyên tố d.

=> aⁿ + bⁿ + ab chia hết cho d.

=> a(a^n-1 + b) + bⁿ chia hết cho d.

=> a(a^n-1 + b) chia hết cho d.

=> a chia hết cho d (1).

=> a^n-1 + b chia hết cho d => b chia hết cho d (2).

Từ (1) và (2) => a, b cùng chia hết cho 1 số nguyên tố d (trái với giả thiết a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau).

=> aⁿ + bⁿ và ab không là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mình nhầm:

Giả sử aⁿ + bⁿ  không là 2 số nguyên tố cùng nhau. Còn kết quả bạn ghi lại cái đpcm

là sao bạn, bạn ghi lại bài làm đi cho mình nhá

Hi

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

gọi UCLN (n+1;n+2) là d

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(\Rightarrow n+2⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)-\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Gọi d là ƯCLN của n+1 và n+2

=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\n+2⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\n+1+1⋮d\end{cases}}\)=>\(1⋮d\)

=> ƯCLN (n+1,n+2) = 1

=> n+1 và n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi UCLN(5n+1;6n+1) là a

Ta có:5n+1 chia hết cho a

         6n+1 chia hết cho a

=>6(5n+1) chia hết cho a

    5(6n+1) chia hết cho a

=>30n+6 chia hết cho a

    30n+5 chia hết cho a

=>30n+6 -(30n+5) chia hết cho a

 =>        1            chia hết cho a

=>a=1

Vậy 5n+1 và 6n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau vì UCLN của chúng =1.

Ko bt làm

\(\left\{{}\begin{matrix}n+5⋮d\\n+4⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow d=1\)

Vậy: n+5 và n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau