bÀI LÀM

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

a/ Đảo ngược lại rồi đặc \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

b/ Dễ thấy vai trò x, y, z như nhau nên ta chỉ cần xét 1 trường hợp tiêu biểu thôi.

Xét \(x>y>z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}< \frac{1}{y}< \frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{y}>z+\frac{1}{x}\)(trái giả thuyết)

\(\Rightarrow x=y=z\)'

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Đễ thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của hệ

Xét \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\\z\ne0\end{cases}}\)

Cộng 3 phương trình vế theo vế ta được

\(\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}=x+y+z\)

Ta có: \(\frac{2x^2}{x^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}=x\)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{2y^2}{y^2+1}\le y\\\frac{2z^2}{z^2+1}\le z\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le x+y+z\)

Dấu =  xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0;1,1,1\right)\)

PS: Tính không làm đâu nhưng mà đồng hương nên giúp nhau vậy :D

nhìn hpt bự con thế này chắc xài BĐT giải r`, chờ mình tẹo :)

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\left(1\right)\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\left(2\right)\\x^2+y^2+z^2=17\left(3\right)\end{cases}}\left(DK:x,y,z\ne0\right)\)

Ta co:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3>\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{3}\)

Vay HPT vo nghiem

Sử dụng bđt AM-GM ta có : 

\(1+x^2\ge2\sqrt{1.x^2}=2x< =>y\ge\frac{2x^2}{2x}=x\)

Bằng cách chứng minh tương tự ta được :

\(z\ge\frac{2y^2}{2y}=y;x\ge\frac{2z^2}{2z}=z\)

Cộng 3 vế lại : \(x+y+z\ge x+y+z\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}1=x^2\\1=y^2\\1=z^2\end{cases}< =>...}\)