\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)

\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)

\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)

\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)

Bất đẳng thức trên đúng vì :

\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)

Vậy \(A\ge2\)

Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)

Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)

\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)

\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)

BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)

Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)

Làm tương tự với vế còn lại.

$x+y=2\Rightarrow {}^{}+{}^{}+2xy=4\Rightarrow {}^{}+{}^{}=4-2xy$

Đặt $t=\sqrt{xy};t\ge 0;t\le \frac{x+y}{2}=1$

$\sqrt{{}^{}+{}^{}}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2{}^{}}+t$

$+\sqrt{4-2{}^{}}+t\ge 2\iff \sqrt{4-2{}^{}}\ge 2-t$

Ta có : \(xy\left(x+y\right)^2\le\frac{1}{64}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\frac{1}{64}}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)

ta cần c/m \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)

Thật vậy, ta có

Áp dụng BĐT : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b

\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)^2}{4}=\frac{\left(\sqrt{x}^2+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}^2\right)^2}{4}.\frac{1}{2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{4}\)

Lời giải:

Từ điều kiện \(x+y+z+2=xyz\) ta có một đẳng thức rất đẹp là \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)

\(\Rightarrow \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2(*)\)

(lớp 9 mình đã rất sung sướng khi phát hiện ra nó, dù không mới mẻ. Tất nhiên không thể tự nhiên mà có được đẳng thức như thế này, nó tùy thuộc vào khả năng suy luận ngược hoặc thói quen biến đổi các đẳng thức cơ bản)

Khi đó, áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\((x+1+y+1+z+1)\left(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\right)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)

\(\Leftrightarrow 2(x+y+z+3)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+6\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Có \(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\)\(=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(x+y+2z\right)}}\)\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}\) (theo bunhia dưới mẫu)\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)\)

Tương tự cũng có:

\(\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)

\(\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+2y}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

Cộng vế với vế ta được:

 \(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{9}\)

hay

bạn vào thống kê hỏi đáp xem hình ảnh