Mình chỉ làm được câu a nhé:

Hai tam giác AMC và DMA đồng dạng với nhau (g.g)

Vì góc ADM = góc MAC = 1/4 sđ cung AB ; chung góc AMD

=> AM/DM = MC/MA <=> MA^2 = MC.MD

a) Hai tam giác AMC và DMA đồng dạng với nhau (g.g)

Vì góc ADM = góc MAC = 1/4 sđ cung AB ; chung góc AMD

=> AM/DM = MC/MA <=> MA^2 = MC.MD

Lời giải:

a) Xét tam giác $MBC$ và $MDB$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MBC}=\widehat{MDB}$ (do là góc nt chắn 2 cung MB và MA bằng nhau)

$\Rightarrow \triangle MBC\sim \triangle MDB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow MB^2=MC.MD$

Mà $MB=MA$ nên $MA^2=MC.MD$ (đpcm)

b) Đã chứng minh ở phần a.

Hình vẽ:

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác  B D C ^

Ta có  K Q C ^ = 2 K M C ^  (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

N D C ^ = K M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  N C ⏜ )

Mà  B D C ^ = 2 N D C   ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở  ⇒ B C D ^ = B C Q ^  do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).

a.tứ giác AMDO nội tiếp (∠AOD+∠AMD=180)

⇒BD.BM=BO.BA

mà A,B,O cố định nên BO.BA không đổi

⇒BD.BM không có giá trị phụ thuộc  vào vị trí điểm m

b.có ∠EMB=\(\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{MB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

do tứ giác AMDO nội tiếp⇒∠MAO=∠MDE⁽¹⁾

∠MAO=\(\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{MB}\)

⇒∠EMB=∠MAO⁽²⁾

^{từ (1) và (2)} ⇒∠EMB=∠MDE

⇒ΔEMD cân tại E

⇒ED=EM