a: Xét tứ giác AMNB có 

BN//AM

BN=AM

Do đó: AMNB là hình bình hành

mà BN=AB

nên AMNB là hình thoi

a) tứ giác AMNB

có BN // AM (BC // AD)

BN = AM (BC=AD, N;M là Tđiểm BC;AD)

=> AMNB là HBH

2AB = AD, 2AM = AD => AM =AB

=> AMNB là HThoi ( vì là HBH có 2 cạnh kề = nhau )

b) AMNB là Hthoi

=> AN là tia Phân giác của ^BNM

^BNM = 120* (là góc TCP vs ^B)

=> ^ANM = ^BNM /2 = 120*/2 = 60*

t/ tự ta có MNCD là Hthoi

=> ND là tia Phân giác của ^MNC

^MNC = 60* (là góc TCP vs ^NCD, mà ^NCDlà góc TCP vs ^B)

=> ^MND = ^MNC/2 = 30*

có ^AND = ^ANM + ^MND = 60* + 30* = 90*

=> AN vuông vs N

tam giác BAN cân tại B ( AB = BN t/c Hthoi )

^B =60* (gt)

=> tg BAN đều

=> AN = BA

AB = CD (t/c HBH )

=> AN = CD

^ANC = ^ANM + ^MNC , ^MNC =60*= ^B (2 góc đồng vị)

=> ^ANC = 60* +60* =120*

xét tg ANC và tg NCD

có NC chung

^ANC = ^NCD (=120*)

AN = CD (cmt)

=> tg ANC = tg NCD (cgc)

=> AC = ND ( 2 cạnh t/ứ)

c) gọi O là giao cuả BM và AN

có AMNB là Hthoi (cm câu a)

=> BM vuông vs AN (t/c Hthoi)

BM cắt AN tại trung điểm mỗi đường

=> O là trung điểm AN

có tam giác BAN đều (cm câu b)

=> AN = AB = a

mà O là trung điểm AN (cmt).

=> AO = ON = AN/2 = a/2

xét tg BON vuông tại O

có \(BO^2+ON^2=BN^2=>BO^2=BN^2-ON^2=a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}=>BN=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\)

có O là trung điểm BM (T/C Hthoi )

=> BM = 2BO = 2\(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\)=\(\sqrt{3}a\)

S Hthoi ABMN = \(\dfrac{1}{2}AN.BM=\dfrac{1}{2}a.\sqrt{3}a=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\)

xét tứ giác AMDN có BN // MD, BN = MD =a

=> AMDN là HBH

=> BM = ND ( t/c HBH )

=> ND = \(\sqrt{3}a\)

S tam giác AND = \(\dfrac{1}{2}AN.ND=\dfrac{1}{2}a.\sqrt{3}a=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\)

a: Xét tứ giác AMNB có

AM//NB

AM=NB

Do đó: AMNB là hình bình hành

mà AM=AB

nên AMNB là hình thoi

b: Xét tứ giác MDCN có 

MD//CN

MD=CN

Do đó; MDCN là hình bình hành

mà DM=DC

nên MDCN là hình thoi

=>MD=NM

mà NM=AM

nên NM=AM=MD

=>NM=AD/2

Xét ΔAND có 

NM là đường trung tuyến

NM=AD/2

Do đó: ΔAND vuông tại N

2:

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

b: Hình chữ nhật ADME trở thành hình vuông khi AM là phân giác của góc BAC

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM là đường phân giác

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

3:

\(ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)-ac\left(c-a\right)\)

\(=a^2b+ab^2-b^2c-bc^2+ac\left(a-c\right)\)

\(=\left(a^2b-bc^2\right)+\left(ab^2-b^2c\right)+ac\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a^2-c^2\right)+b^2\left(a-c\right)+ac\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a-c\right)\left(a+c\right)+\left(a-c\right)\left(b^2+ac\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(ba+bc+b^2+ac\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(ba+b^2\right)+\left(bc+ac\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\)

1:

a: Ta có: ABCD là hình bình hành 

=>AD=BC(1)

Ta có: M là trung điểm của AD

=>\(MA=MD=\dfrac{AD}{2}\left(2\right)\)

Ta có:N là trung điểm của BC

=>\(NB=NC=\dfrac{BC}{2}\)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AM=MD=CN=NB

Xét tứ giác AMNB có

AM//NB

AM=NB

Do đó: AMNB là hình bình hành

Hình bình hành AMNB có AM=AB(=AD/2)

nên AMNB là hình thoi

b: Ta có: AMNB là hình thoi

=>MN=AM

mà \(AM=\dfrac{AD}{2}\)

nên \(NM=\dfrac{AD}{2}\)

Xét ΔNAD có

NM là đường trung tuyến

\(NM=\dfrac{AD}{2}\)

Do đó: ΔNAD vuông tại N

=>AN\(\perp\)ND

c:

Ta có: AB=DC

AB=AI

Do đó: DC=AI

Ta có: AB//DC

I\(\in\)AB

Do đó: IA//DC

Xét ΔABN có BA=BN(=BC/2) và \(\widehat{B}=60^0\)

nên ΔBAN đều

=>\(AN=BN=\dfrac{BC}{2}\)

Xét ΔBAC có

AN là đường trung tuyến

\(AN=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>BA\(\perp\)AC

=>CA\(\perp\)AI

Xét tứ giác AIDC có

AI//DC

AI=DC

Do đó: AIDC là hình bình hành

Hình bình hành AIDC có \(\widehat{IAC}=90^0\)

nên AIDC là hình chữ nhật

a. tam giác ABC có AM=MC và BN=NC => MN là đg TB của ABC => MN//AB => AMNB là hình thang ( k thể là Hình bình hành được )

b. D là điểm đối xứng với B qua M =>BM=MD

Tứ giác ABCD có AM=MC và BM=MD => 2 đg chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

=> ABCD là HBH

c. E đối xứng với A qua N => AN=NE

ABEC có BN=NC và AN=NE => ABEC là HBH ( CMTT như câu b )

a) Ta sẽ có FD//EC và FD = EC = 0.5 AD Þ ECDF là hình bình hành.

Mà A B 1 2 B C  

Þ AB = BE = EF = EC

Þ CDFE là hình thoi.

b) Tứ giác ABED là hình thang cân vì BE//AD và B A D ^ = A D E ^ = 60 0  

c) Ta có E F = C D = A B = 1 2 C D = 1 2 A D , F là trung điểm AD Þ  A E D ^ = 90 0

AE đâu ra vậy bẹn 

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)