Đặt \(S=\frac{ab}{p-c}+\frac{bc}{p-a}+\frac{ca}{p-b}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(S=\frac{2ab}{a+b-c}+\frac{2bc}{b+c-a}+\frac{2ca}{c+a-b}\ge2\left(a+b+c\right)\)

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)thì \(x+y+z=a+b+c;a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{x};c=\frac{x+y}{2}\)

Ta cần chứng minh \(S=\text{∑}_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2z}\ge2\left(x+y+z\right)\)

Ta có:

\(S=\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2z}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{2y}+\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{2x}\)

\(=\frac{xy+yz+zx+z^2}{2z}+\frac{xy+zx+yz+y^2}{2y}+\frac{x^2+xy+zx+yz}{2x}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

a, Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến tại A,B,C ta chứng minh được  b + c - a 2 = AD

b,  S A B C = S A I B + S B I C + S C I A

Mà ID = IE = IF = r =>  S A B C  = p.r

c, Vì AM là phân giác của  B A C ^ =>  B M M C = B A A C

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức thu được BM = a c c + b

a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:

\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< bc+ab\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên:

\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)(đpcm)

Ta có:

a<b+ca<b+c 
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c 
--> 2a<22a<2 
--> a<1a<1 

Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1 

Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0 
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0 
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0 
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc 

Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca 
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca 
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca 
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2 
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm

\(\cfrac{P}{P-a}=\cfrac{2P}{2P-2a}=\cfrac{2P}{a+b+b-2a}=\cfrac{2P}{-a+b+c}\)

Chứng minh tương tự => \(\cfrac{P}{P-b}=\cfrac{2P}{a-b+c} \); \(\cfrac{P}{P-c}=\cfrac{2P}{a+b-c}\)

=>VT=\(\cfrac{2P}{-a+b+c}+\cfrac{2P}{a-b+c}+\cfrac{2P}{a+b-c} \geq 2P\cfrac{(1+1+1)^2}{a+b +c}=9\)(Áp dụng bđt \(\cfrac{a^2}{x}+\cfrac{b^2}{y}+\cfrac{c^c}{z}\geq\cfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\))

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac

=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac

<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0

<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0

<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

=>a-b=b-c=c-a=0

=>a=b;b=c;c=a

=>a=b=c

=>tam giác abc là tam giác đều