Ta có 

\(A\left(x^2-5x+7\right)=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)-5Ax+7A=0\)

Để pt này có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow25A^2-4.7.\left(A-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3A^2-28A\le0\)

\(\Leftrightarrow0\le A\le\frac{28}{3}\)

Vậy A đạt GTNN là 0 khi x = 0, đạt GTLN là \(\frac{28}{3}\)khi x = \(\frac{14}{5}\)

mình sẽ cho bạn 1 công thức lớp 9, nhớ nhé, nó sẽ giải được hầu hết các bài tìm min max mà có phân số như kiểu bài này

đối với phương trình bậc 2 ẩn x ví dụ như ax^2+bx+c=0 với a,b,c là tham số

ta luôn có \(\Delta\)(đọc là đenta, phiên âm của delta, viết giống tam giác) =b^2-4ac

để phương trình có nghiệm thì  \(\Delta\ge0\)thì phương trình mới có nghiệm

đó là công thức, giải bài trên thì bạn làm bước sau ra nháp: 

\(yx^2-5yx+7y=x^2\Rightarrow x^2\left(y-1\right)-5yx+7y=0\)

phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn x, y là tham số, theo công thức trên thì a là y-1, b là -5y, c là 7y

vậy để phương trình luôn có nghiệm thì \(\Delta=b^2-4ac=25y^2-4.7y\left(y-1\right)\ge0\)

Giải cái bất phương trình đó ra bạn sẽ có \(-3y^2+28y\ge0\Rightarrow y\left(3y-28\right)\le0\)

giải ra sẽ có \(0\le y\le\frac{28}{3}\)

thế là đã tìm ra min và max của y

Trình bày vào vở như sau:

Đầu tiên tự chứng minh mẫu dương nhé, mình lười ^^

sau đó viết :

\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\ge0\)

dấu = xảy ra khi x=0

ta có: \(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}=\frac{28}{3}+\left(\frac{x^2}{x^2-5x+7}-\frac{28}{3}\right)\)

\(=...=\frac{28}{3}-\frac{25x^2-140x+196}{3\left(x^2-5x+7\right)}=\frac{28}{3}-\frac{\left(5x-14\right)^2}{...}\le\frac{28}{3}\)

(mấy cái bước quy đồng tự làm hộ mình cái, mình lười ^^)

rồi đó, vậy tìm được min và max của y, khi bạn tìm được min max y ra nháp rồi thì cứ lấy biểu thức ban đầu cộng thêm với cái số đó rồi trừ đi nó, cuối cùng kiểu gì cũng ra 1 cái bình phương, với điều kiện là bài này phải có mẫu dương nhé

mệt quá ai có lòng từ bi phát

-Min : quá dễ,đánh giá mẫu dương, tử ko âm từ đó min=0 ,đẳng thức xảy ra <=> x=0

-Max : A đạt max <=> 1/A đạt min

biến đổi về 1/A=7(1/x-5/14)²+3/28 >/ 3/28 => min của 1/A = 3/28 => maxA=28/3

đẳng thức xảy ra <=> x=14/5

Miền giá trị nhé :D

\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\)

\(\Leftrightarrow yx^2-5xy+7y=x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)x^2-5xy+7y=0\)

\(TH1:y-1=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=\frac{7}{5}\)

\(TH2:y-1\ne0\Rightarrow pt\) là phương trình bậc 2 ẩn x

\(\Delta_x=y^2-28\left(y-1\right)=y^2-28y+28\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-14\right)^2-168\ge0\Rightarrow\left(y-14\right)^2\ge168\)

\(\Rightarrow-\sqrt{168}\le\left|y-14\right|\le\sqrt{168}\)

Không biết có sai bước nào ko chứ số xấu -_-

Đặt \(y=\frac{x}{x^2+1}\Rightarrow y.\left(x^2+1\right)=x\Rightarrow yx^2+y-x=0\)

\(\Delta=1-4y^2\)

Để y xác định thì \(\Delta\ge0\Rightarrow1-4y^2\ge0\Leftrightarrow\frac{-1}{2}\le y\le\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của phân thức trên là -1/2 tại x=-1

       GTLN của phên thức trên là 1/2 tại x=1

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia.cop.xki

\(\left(1.x+1.y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left|x+y\right|\le2\Rightarrow-2\le x+y\le2\)

Cách làm khác:

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left|x+y\right|\le\sqrt{2}\)

\(x+y=-\sqrt{2}\text{ khi }x=y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

=> GTNN của x +  y là \(-\sqrt{2}\)

\(x+y=\sqrt{2}\text{ khi }x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow GTLN\text{ của }x+y\text{ là }\sqrt{2}\)

\(C=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\)

\(\Leftrightarrow Cx^2-5Cx+7C-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(C-1\right)x^2-5Cx+7C=0\)(1)

Để \(pt\left(1\right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=\left(-5C\right)^2-4\left(C-1\right)7C\ge0\)

\(\Leftrightarrow25C^2-28C^2+28C\ge0\Leftrightarrow-3C^2+28C\ge0\Leftrightarrow0\le C\le\frac{28}{3}\)

Đạt GTNN là 0 khi x = 0

Đạt GTLN là \(\frac{28}{3}\) khi \(x=\frac{14}{5}\)

Mik có cách khác dễ hiểu hơn đó :v

Nhưng cám ơn bạn nhiều :))

bạn làm cách đó lên đc k??

\(A=x^2-5x+1=x^2-2.x.\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\frac{21}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{21}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\)

nên \(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{21}{4}\ge-\frac{21}{4}\)

Vậy \(Min_{x^2-5x+1}=-\frac{21}{4}\)khi \(x-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\).

\(B=1-x^2+3x=-\left(x^2-3x-1\right)=-\left[x^2-2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}\right]=-\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}\right]=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{13}{4}\)Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

nên \(-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\le0\)

do đó \(-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{13}{4}\le\frac{13}{4}\)

Vậy \(Max_{1-x^2+3x}=\frac{13}{4}\)khi \(x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)