Mấy bạn làm hộ mình nha , bài khó quá không biết làm thế nào nữa.Xin trân thành cảm ơn nếu các bạn làm chi tiết.

Lời giải:
a.

$A=2+2^2+2^3+...+2^{100}$

$2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}$

$\Rightarrow 2A-A=2^{101}-2$

$\Rightarrow A=2^{101}-2$

b.

Hiển nhiên các số hạng của $A$ đều chẵn nên $A\vdots 2(1)$

Mặt khác:
$A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+....+(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+....+2^{97}(1+2+2^2+2^3)$

$=(1+2+2^2+2^3)(2+2^5+...+2^{97})=15(2+2^5+...+2^{97})\vdots 15(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(2,15)=1$ nên $A\vdots (2.15)$ hay $A\vdots 30$

$A=2+(2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7)+....+(2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2+2^2(1+2+2^2)+2^5(1+2+2^2)+....+2^{98}(1+2+2^2)$

$=2+(1+2+2^2)(2^2+2^5+...+2^{98})$

$=2+7(2^2+2^5+...+2^{98})$

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 7

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 14.

Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0

Do đó các cặp số dư khi chia lần lượt a² và b² cho 3 là

(0;0) (0;1) (1;0) (1;1)

Vì a²+b²chia hết 3 nên ta nhận cặp (0;0) => a,b đều chia hết 3

A =  1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁴ 

Ta có :

a ) 2A = 2 ( 1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁴ )

= 2 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁵

2A - A = ( 2 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁵ ) - ( 1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁴ )

A = 2²⁰¹⁵ - 1

b ) A = ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ( 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ ) + .... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ )

= ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁵( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + .... + 2²⁰¹⁰( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ )

= ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + 2⁵ ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + ... + 2²⁰¹⁰( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 )

= 31 + 2⁵.31 + .... + 31.2²⁰¹⁰

= 31( 1 + 2⁵ + .... + 2²⁰¹⁰ ) chia hết cho 31 ( đpcm )

a) Ta có : A = \(x^3-x\)

          => A = \(x^2.x-x\)

          => A = \(x\left(x^2-1\right)\) 

Xét :

TH1 : \(x\) là số chẵn => \(x\)chia hết cho \(2\) => \(x\left(x^2-1\right)\)chia hết cho \(2\) ( thỏa mãn )

TH2 : \(x\)là số lẻ => \(x^2\)là số lẻ  =>  \(x^2-1\)là số chẵn, chia hết cho 2 => \(x\left(x^2-1\right)\)chia hết cho \(2\)(thỏa mãn )

Qua 2 TH ta đều thấy \(x^3-x\)chia hết cho \(2\)

Vậy A chia hết cho 2.

Nhớ k nha Mai best friend !

A = 3¹ + 3² + 3³ + ....... + 3²⁰¹²

A = ( 3¹ + 3² + 3³) + ( 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ ) + ....... + ( 3²⁰¹⁰ + 3²⁰¹¹ + 3²⁰¹²)

A = 1 . ( 3¹ + 3² + 3³) + 3⁴ . ( 3¹ + 3² + 3³) + ......... + 3²⁰¹⁰ .  ( 3¹ + 3² + 3³)

A = 1 . 39 + 3⁴ . 39 + ........ + 3²⁰¹⁰ . 39

A = 39 . ( 1 + 3⁴ + .......... + 3²⁰²⁰ ) \(⋮\)13\(\rightarrowĐPCM\)

# HOK TỐT #

A = 3¹ + 3² + 3³ +3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + . . . + 3²⁰¹⁰ + 3²⁰¹¹ + 3²⁰¹²

A = ( 3¹ + 3² + 3³ ) + ( 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ )+ . . . + ( 3²⁰¹⁰ + 3²⁰¹¹ + 3²⁰¹² )

A = 3¹ (1 + 3 + 3² ) + 3⁴  (1 + 3 + 3² ) + . . . + 3²⁰¹⁰  (1 + 3 + 3² )

A = 3¹ . 13 + 3⁴ . 13 + . . . + 3²⁰¹⁰ . 13

A = 13 .( 3¹ + 3⁴ + . . . + 3²⁰¹⁰ ) \(⋮\)13 ( ĐPCM)

HOK TỐT

A = 3¹ + 3² + 3³ + ..... + 3²⁰¹²

A = ( 3¹ + 3² + 3³)  + ......... + ( 3²⁰¹⁰ + 3²⁰¹¹ + 3²⁰¹²)

A = 1. ( 3¹ + 3² + 3³) + ........ + 3²⁰¹⁰. ( 3¹ + 3² + 3³) 

A = 1 . 39 + ....... + 3²⁰¹⁰ . 39

A = 39 . ( 1 + ...... + 3²⁰¹⁰) \(⋮13\rightarrowĐPCM\)

# HOK TỐT #

Ta có : 3+3²+3^3+.......+3²⁰¹² 

⁼  ( 3+3²+3³ ) +.......+( 3²⁰¹⁰+3²⁰¹¹+3²⁰¹²) 

= 3 ( 1+3+9 ) +........+ 3²⁰¹⁰ ( 1+3+9)

= 3.13+......+3²⁰¹⁰.13

= 13 ( 3+......+ 3²⁰¹⁰⁾ 

Vậy biểu thức trên chia hết cho 13. 

Bạn có thể làm thêm mất biểu thức ở hàng thứ hai để chi tiết hơn

A= 3¹+ 3²+ 3³+......+3²⁰¹²

A= (  3¹+ 3²+ 3³) + (3⁴+3⁵+3⁶),+......+ (3²⁰¹⁰+3²⁰¹¹+ 3²⁰¹²)

A= 3¹(1+3+3²)+ 3⁴(1+3+3²)+...............+3²⁰¹⁰(1+3+3²)

A= 3¹.13+ 3².13+.....+3²⁰¹⁰.13

A= 13 ( 3+3²+....+3²⁰¹⁰)

Vì 13 ( 3+3²+....+3²⁰¹⁰) \(⋮\)13 nên A \(⋮\)13

Vậy....