a: BC=căn 15^2+20^2=25cm

AH=15*20/25=12cm

HB=15^2/25=9cm

HC=25-9=16cm

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=25/7

=>BD=75/7cm; CD=100/7cm

b: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2

=>AI*AB=AK*AC

c: AI*AB=AK*AC

=>AI/AC=AK/AB

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

Lời giải:
a. Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$ (cm) 

Áp dụng tính chất đường phân giác:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Mà: $BD+DC=BC=20$ nên:

$BD=20:(3+4).3=\frac{60}{7}$ (cm) 

$CD= 20:(3+4).4=\frac{80}{7}$ (cm) 

b.

$AH=2S_{ABC}:BC=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=9,6$ (cm) 

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{12^2-9,6^2}=7,2$ (cm) 
$HD = BD-BH = \frac{60}{7}-7,2=\frac{48}{35}$ (cm) 

$AD = \sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{9,6^2+(\frac{48}{35})^2}=\frac{48\sqrt{2}}{7}$ (cm)

Hình vẽ:

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=12^2+16^2=20^2\)

=>\(BC=20\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

=>\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}\)

=>\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}\)

mà BD+CD=BC=20

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{20}{7}\)

=>\(BD=\dfrac{20}{7}\cdot3=\dfrac{60}{7}\left(cm\right);CD=\dfrac{20}{7}\cdot4=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>\(AH=\dfrac{192}{20}=9,6\left(cm\right)\)

Ta có: ΔAHB vuông tại H

=>\(HB^2+AH^2=AB^2\)

=>\(HB^2=12^2-9,6^2=51,84\)

=>\(HB=\sqrt{51,84}=7,2\left(cm\right)\)

=>HC=BC-HB=12,8(cm)

Vì CD<CH

nên D nằm giữa C và H

=>CD+DH=CH

=>\(DH=12.8-\dfrac{80}{7}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)

ΔAHD vuông tại H

=>\(AH^2+HD^2=AD^2\)

=>\(AD^2=\left(\dfrac{48}{35}\right)^2+9,6^2=\dfrac{4608}{49}\)

=>\(AD=\sqrt{\dfrac{4608}{49}}=\dfrac{48\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\)

                                                                 CM

Trên BC lấy D sao cho BA=BD.Trên AC lấy E sao cho AE=AH.

Xét \(\Delta BAD\)có BA=BD ( cách vẽ )

\(\Rightarrow\Delta BAD\)cân tại A ( định lý )

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{D1}\)( Tính chất )      (1)

Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{A3}=\widehat{BAC}\)( hình vẽ )

          \(\widehat{BAD}+\widehat{A3}=90^0\) (2)

Xét \(\Delta HAD\)có \(\widehat{H1}+\widehat{A2}+\widehat{D1}=180^0\)( Định lý )

                                              \(\widehat{A2}+\widehat{D1}=90^0\)(3)

Từ (1) , (2) , (3) \(\Rightarrow\widehat{A2}=\widehat{A3}\)

Xét \(\Delta AHD\)và \(\Delta AED\)có:

           \(\hept{\begin{cases}AH=AE\left(c.ve\right)\\\widehat{A2}=\widehat{A3}\left(cmt\right)\\ADchung\end{cases}\Rightarrow\Delta AHD=\Delta AED\left(c-g-c\right)}\)

 \(\Rightarrow\widehat{H1}=\widehat{E1}\)( 2 góc tương ứng ) mà \(\widehat{H1}=90^0\Rightarrow\widehat{E1}=90^0\).

 \(\Rightarrow EC\perp DC\)tại E 

Xét \(\Delta DEC\)vuông tại A ( cmt ) \(\Rightarrow DC>EC\)( quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông )

                      \(\Rightarrow AE+DC>AE+EC\)

                      \(\Rightarrow AE+DC>AC\) 

                      \(\Rightarrow AE+BD+DC>AC+BD\) 

                       \(\Rightarrow AE+BC>BD+AC\)  

                       \(\Rightarrow AH+BC>AB+AC\)( đpcm )

 Mọi người có thể tham khảo.