Xét \(\Delta DBC\) có:

\(\widehat{ADB}\) là góc ngoài của \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{B_2}+\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{ADB}-\widehat{B_2}=45^o-\frac{\widehat{B}}{2}\)

Xét \(\Delta ABC\) có 

\(\widehat{A_1}\) là góc ngoài tại đỉnh A

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{B}+45^o-\frac{\widehat{B}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=45^o+\frac{\widehat{B}}{2}\)  (1)

Xét \(\Delta HAC\) vuông tại H có

\(\widehat{A_2}=90^o-\widehat{C}=90^o-\left(45^o-\frac{\widehat{B}}{2}\right)=45^o+\frac{\widehat{B}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta ABH\) có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không kề

=> tia HD phải là tia phân giác ngoài tại đỉnh H

=> \(\widehat{DHC}=45^o\)

=> HD // AB (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau) 

Vẽ góc ngoài CAx của ∆ABC tại đỉnh A 

Ta thấy HAx là góc ngoài ∆BAH 

=> hAx = ABH + AHB = ABC + 90° 

=> HAx = 2( ABD + 45°) (1)

Vì CAx là góc ngoài ∆BAD 

=> CAx = ABD + BDA = ABD + 45° (2)

Từ (1) và (2) 

=> CAx = \(\frac{1}{2}\)HAx 

=> AC là phân giác HAx 

Xét ∆ABH ta có : 

BD là phân giác trong

AD là phân giác ngoài

=> HD là phân giác AHC 

=> AHD = \(\frac{1}{2}AHC=45°\)(3)

Xét ∆BAH ta có : 

AHB + ABH + BAH = 180° 

=> BAH = 45° (4)

Từ (3) và (4) ta có : 

=> AHB = BAH = 45° 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> HD//AB