3:

\(6a+11b-6\left(a+7b\right)\)

\(=6a+11b-6a-42b=-31b⋮31\)

Ta có: \(\left(6a+11b\right)-6\left(a+7b\right)⋮31\)

\(6a+11b⋮31\)

Do đó: \(6\left(a+7b\right)⋮31\)

=>\(a+7b⋮31\)

Ta có: \(\left(6a+11b\right)-6\left(a+7b\right)⋮31\)

\(a+7b⋮31\)

Do đó: \(6a+11b⋮31\)

4:

\(5a+2b⋮17\)

=>\(12\left(5a+2b\right)⋮17\)

=>\(60a+24b⋮17\)

=>\(51a+17b+9a+7b⋮17\)

=>\(17\left(3a+b\right)+\left(9a+7b\right)⋮17\)

mà \(17\left(3a+b\right)⋮17\)

nên \(9a+7b⋮17\)

Để tìm số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên, chúng ta cần tìm số tự nhiên lớn nhất mà khi chia cho cả 428 và 708 đều có số dư.

Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng. Bắt đầu với hai số 428 và 708, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm ước số chung lớn nhất (GCD) của 428 và 708 bằng cách sử dụng thuật toán Euclid:

   - 708 = 428 * 1 + 280

   - 428 = 280 * 1 + 148

   - 280 = 148 * 1 + 132

   - 148 = 132 * 1 + 16

   - 132 = 16 * 8 + 4

   - 16 = 4 * 4 + 0

   GCD của 428 và 708 là 4.

2. Sau đó, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của 428 và 708 bằng cách sử dụng công thức:

   LCM = (428 * 708) / GCD

   LCM = (428 * 708) / 4 = 151,704

Vậy số tự nhiên lớn nhất mà khi chia cho cả 428 và 708 đều có số dư là 151,704.

Ta có:
\(\frac{y}{4}=\frac{x}{3}=\frac{x-y}{3-4}=\frac{7}{-1}=-7\)

=> y = (-7). 4 = -28
x = (-7) . 3 = -21

a) (x+10)(2y-5) = 143

=> (x+10);(2y-5) thuộc Ư(143)={-1,-143,1,143}

\(\orbr{\begin{cases}x+10=-143\\2y-5=-1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-153\\y=2\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x+10=-1\\2y-5=-143\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-11\\y=-69\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x+10=1\\2y-5=143\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-9\\y=74\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x+10=143\\2y-5=1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=133\\y=3\end{cases}}\)

Vậy ta có các cặp x,y thõa mãn : (-153,2);(-11,-69);(-9,74);(113,3)

b) x+(x+1)+(x+2)+..+(x+30)=1240

=> (x+x+x+...+x)+(1+2+3+...+30)=1240

=> 31x+465=1240

31x = 1240-465

31x = 775

x = 775 : 31

x= 25

c) 1+2+3+...+x=210

\(\frac{\left(x-1\right)}{1}+1=x\)

=> \(\frac{\left(x+1\right).x}{2}=210\)

(x+1)x = 210:2

(x+1)x = 105

chắc ko có x thõa mãn

d) 2+4+6+...+2x=210

=> 2(1+2+3+...+x)=210

1+2+3+..+x= 210:2 = 105

\(\frac{\left(x-1\right)}{1}+1\) = x

\(\frac{\left(x+1\right).x}{2}=105\)

(x+1)x = 105:2

(x+1)x = 52,5

ko có x thõa mãn đề bài

a, x + 10 và 2y - 5 thuộc Ư(143) = {1;-1;143;-143}

 b, x+(x+1)+(x+2)+........+(x+30) = 1240

=> x+x+1+x+2+...+x+30=1240

=> 31x+(1+2+...+30) = 1240

=> 31x + 465 = 1240

=> 31x = 775

=> x = 25

c, 1+2+...+x=210

=> \(\frac{x\left(x+1\right)}{2}=210\)

=> x(x+1) = 420

Mà 420 = 20.21

=> x = 20

d, 2+4+...+2x = 210

=> 2(1+2+...+x) = 210

=> \(\frac{2x\left(x+1\right)}{2}=210\)

=> x(x + 1) = 210

Mà 210 = 14.15

=> x  = 14

e, 1+3+5+...+(2x-1) = 225

=> \(\frac{\left[\left(2x-1\right)+1\right].x}{2}=225\)

=> \(\frac{2x^2}{2}=225\)

=> x² = \(\left(\pm15\right)^2\)

=> x = 15 hoặc x = -15

c,d ST làm đúng . Mình lận nhân thành chia :(

\(y+y\div0.25+y\div0,125+y\times2=15\)

\(y\times1+y\times4+y\times8+y\times2=15\)

\(y\times\left(1+4+8+2\right)=15\)

\(y\times15=15\)

\(y=15\div15\)

\(y=1\)

y + y : 0,25 + y : 0,125 + y x 2 = 15

y x 1 + y x 4 + y x 8 + y x 2      = 15

y x (1+4+8+2)                          = 15

y x 15                                       = 15

y                                               = 15 : 15

y                                               =     1

y + y : 0,25 + y : 0,125 + y x 2 = 15

y x 1 + y x 4 + y x 8 + y x 2     = 15

y x ( 1 + 4 + 8 + 2 )                  = 15

y                                               = 15 : 15

y                                               = 1

cach thu nhat :goi so do la : ab =>  them chu so 0 thi se la ab0 

=> ab0 -ab=648 

vay suy ra a=7; b=2

cach thu 2 neu them chu so 0 vao tan cung benh phai thi so do se gap 10 lan 

tru di 1 lan so do se con 9 phan lay 648 : 9=72

[trpng truong hop neu chia khong het thi chi lay so nguyen ] 

ai do k minh nha

Với \(a>0\) thì \(\left|a\right|+a=a+a=2a⋮2\)

Với \(a=0\) thì \(\left|a\right|+a=0+0=0⋮2\)

Với \(a< 0\) thì \(\left|a\right|+a=-a+a=0⋮2\)

Vậy với mọi a thì \(\left|a\right|+a⋮2\)

Ta có :\(\left|y-x\right|+\left|z-y\right|+\left|x-z\right|=2017^x+2018^x\)

\(\Rightarrow\left|y-z\right|+y-z+\left|z-y\right|+z-y+\left|x-z\right|+x-z=2017^x+2018^x\)

Vế trái chia hết cho 2 mà vế phải \(2018^x+2017^x\) không chia hết cho 2(vô lí)

Vậy không có x,y,z thỏa mãn