\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{y^3z^3+x^3z^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+xz\right)\left(...\right)}{x^2y^2z^2}=0\)

Câu hỏi của Vũ Thảo Vy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath tham khảo

Đặt bài toán phụ : Chứng minh nếu \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Thật vậy :

 \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(a+b=-c\)

\(b+c=-a\)

\(c+a=-b\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=-3\left(-c\right)\left(-b\right)\left(-a\right)\)

\(=3abc\)

Trở lại bài toán chính :

Ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow xy+xz+yz=0\)

\(\Rightarrow\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)=3\left(xy\right)\left(xz\right)\left(yz\right)=3x^2y^2z^2\)

Lại có:

\(P=\frac{xy.y^2x^2}{x^2y^2z^2}+\frac{xz.z^2.x^2}{x^2y^2z^2}+\frac{z^2.y^2.yz}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{\left(xy\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(xz\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(yz\right)^3}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)}{x^2y^2z^2}\)

Thay \(\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)=3x^2y^2z^2;\)ta có:

\(P=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}\)

\(=3\)

Vậy \(P=3.\)

 Vì 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên lần lượt nhân vs x; y; z ta có: 
1 + x/y + x/z = 0 (1) 
1 + y/z + y/x = 0 (2) 
1 + z/x + z/y = 0 (3) 
Từ (1); (2); (3) suy ra : x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = - 3 (*) 
Mặt khác : 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên quy đồng lên ta có: 
(xy + yz + zx)/xyz = 0 hay xy + yz + zx = 0 
Hay : (1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2).(xy + yz + zx) = 0 
khai triển ra : 
yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 + x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = 0 
Vậy : yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = - (x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y) = 3 (theo (*))

Đầu tiên cần chứng minh khẳng định sau : Nếu a + b + c = 0 thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Thật vậy : Xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Áp dụng khẳng định trên với \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\)được

\(P=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)

Chú ý : Đề bài cần thêm điều kiện x,y,z khác 0