a) Ta có: Điểm K đối xứng với điểm F qua AC => FC=KC;  AF=AK 

=> \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK (c.c.c) => ^AFC=^AKC (2 góc tương ứng) 

Ta thấy tứ giác ABFC nội tiếp đường tròn tâm O => ^AFC=^ABC.

H là trực tâm của tam giác ABC => CH\(\perp\)AB (tại D)

=> ^HCB + ^ABC = 90⁰ (1)

 Lại có AH\(\perp\)BC => ^LHC + ^HCB = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ABC=^LHC. Mà ^LHC + ^AHC = 180⁰

=> ^ABC + ^AHC = 180⁰. Do ^ABC=^AFC=^AKC (cmt) => ^AKC + ^AHC= 180⁰

Xét tứ giác AHCK có: ^AKC + ^AHC =180⁰ => Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) AO cắt GI tại Q

Gọi giao điểm của AO và (O) là P = >^ACP=90⁰ => ^CAP+^CPA=90⁰ (*)

Thấy tứ giác ACPB nội tiếp đường tròn (O) => ^CPA=^ABC 

Mà ^ABC+^AHC=180⁰ => ^CPA+^AHC=180⁰ (3).

Ta có tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp (cmt) => ^KAI=^CHI

Lại có \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK => ^FAC=^KAC hay ^KAI=^GAI  => ^GAI=^CHI

Xét tứ giác AHGI: ^GAI=^GHI (=^CHI) (cmt) = >Tứ giác AHGI nội tiếp đường tròn

=> ^AIG+^AHG=180⁰ hay ^AIG + ^AHC=180⁰ (4)

Từ (3) và (4) => ^AIG=^CPA (**)

Từ (*) và (**) => ^CAP+^AIG=90⁰ hay ^IAQ+^AIQ=90⁰ => \(\Delta\)AIQ vuông tại Q

Vậy AO vuông góc với GI (đpcm).

Xét \(\Delta BAD\)(\(\widehat{A}=90^o\))và \(\Delta BHD\)(\(\widehat{H}=90^o\))có:

\(\widehat{ABD=\widehat{HBD}}\)(gt)

BD: cạnh chung

=> \(\Delta ABD=\Delta HBD\left(CH-GN\right)\)

=> AB=BH; AD=DC (2 cạnh t/ứng)

và \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\)(2 góc t/ứng)

Xét \(\Delta ABH\)cân tại B(vì AB=BH[cmt]) có : BD là đường p.g

=> B là điểm thuộc đường trung trực AH (1)

Xét \(\Delta ADH\)cân tại D(vì AD=DH(cmt)) có: DB là đường p.g ( vì \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\))

=> D là điểm thuộc đường trung trực AH (2)

Từ (1) và (2)=> BD là trung trực của đt AH

+ Xét \(\Delta ABD\)vuông tại A và \(\Delta HBD\)vuông tại H ( vì \(DH\perp BC\))

Có : BD là cạnh chung

        \(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)( Vì BD là p/g của góc B)      => \(\Delta ABD=\Delta HBD\)( canh huyền-góc nhọn)

                                                                                       => AB = HB

+ Gọi I là giao điểm của BD và AH

CM đc : \(\Delta ABI=\Delta HBI\)(c-g-c)

=> IA = IH ( 2 cạnh tương ứng)    (1)

và \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}\)( 2 góc t.ư)

Vì \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH};\widehat{BIA}+\widehat{BIH}=180^o\)( 2 góc k.bù)

=> \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}=\frac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow BD\perp AH\)tại I (2)

Từ (1),(2) => BD là trung trực của đth AH

sidda va tam mai làm giúp mừn cả câu 2 nữa nhe : Tính góc DBK