giả thiết m và n nguyên tố cùng nhau

nên ƯCLN(m;n)=1

Mà m^2chia hết cho n

Và n^2 chia hết cho m 

m,n nguyên dương lẻ

nên m=n=1

Do đó m^2+n^2+2=4

4.m.n=4

Vậy ta được đpcm

má mới học lớp 4 sao má bít được

Ta có : \(m;n\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(\RightarrowƯCLN(m;n)=1\)

Mà \(m^2⋮n\)

      \(n^2⋮m\)

Và có : \(m;n\)là hai số lẻ nguyên dương

\(\Rightarrow m=m=1\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2=4\)

\(\Rightarrow4m.n=4\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\left(1\right)\)

Vì m, n lẻ 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\)

Sửa đề \(\hept{\begin{cases}n^2=a+b\\n^3+2=a^2+b^2\end{cases}}\)

Có \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow n^4\le2\left(n^3+2\right)\) hay \(n^3\left(n-2\right)-4\le0\)

Nếu \(n\ge3\)thì \(n^3\left(n-2\right)-4\ge n^3-4>0\left(ktm\right)\Rightarrow n=\left\{0;1;2\right\}\)

Với n=0;1 không có số nguyên a,b thỏa mãn

Với n=2 \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1;b=3\\a=3;b=1\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy (n,a,b)={(2;1;3);(2;3;1)}

\(a^2+b^2=n^3+2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(n\ge-1\)

Quỳnh xét thiếu n=-1

Cặp \(m=2\) , \(n=1\) vẫn thỏa \(m^2-2020n^2+2022⋮mn\)

Để chứng minh rằng m và n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau, ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Giả sử rằng m và n là hai số tự nhiên thỏa mãn m^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho mn.

Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng m và n là hai số lẻ.

Giả sử rằng m là số chẵn, tức là m = 2k với k là một số tự nhiên. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có:

(2k)^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn

Simplifying the equation, we get:

4k^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn

Dividing both sides by 2, we have:

2k^2 - 1010n^2 + 1011 chia hết cho kn

Do 2k^2 chia hết cho kn, vì vậy 2k^2 cũng chia hết cho kn. Từ đó, 1011 chia hết cho kn.

Bởi vì 1011 là một số lẻ, để 1011 chia hết cho kn, thì kn cũng phải là một số lẻ. Vì vậy, n cũng phải là số lẻ.

Do đó, giả sử m là số chẵn là không hợp lệ. Vậy m phải là số lẻ.

Bước 3: Chứng minh rằng m và n là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử rằng m và n không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều đó có nghĩa là tồn tại một số nguyên tố p chia hết cả m và n.

Vì m là số lẻ, n là số lẻ và p là số nguyên tố chia hết cả m và n, vì vậy p không thể chia hết cho 2.

Ta biểu diễn m^2 - 2020n^2 + 2022 dưới dạng phân tích nhân tử:

m^2 - 2020n^2 + 2022 = (m - n√2020)(m + n√2020)

Vì p chia hết cả m và n, p cũng phải chia hết cho (m - n√2020) và (m + n√2020).

Tuy nhiên, ta thấy rằng (m - n√2020) và (m + n√2020) không thể cùng chia hết cho số nguyên tố p, vì chúng có dạng khác nhau (một dạng có căn bậc hai và một dạng không có căn bậc hai).

Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó giả sử ban đầu là sai.

Vậy ta có kết luận rằng m và n là hai số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau.

k minh minh giai cho

giúp em với bài tập Tết ạ ! k làm cô giết em

Giống mik quá ha!

a, x²+5y²+2y-4xy-3=0

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Nếu \(y< -3\Rightarrow y+1< -2\Rightarrow\left(y+1\right)^2>4\Rightarrow VT>VP\)(vô lí)

\(\Rightarrow y\ge-3\Rightarrow y_{min}=-3\)

lúc đó \(\left(x+6\right)^2+4=4\Rightarrow x=-6\)

Vậy.................

a) \(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Ta thấy : \(4=0+4\) là tổng hai số chính phương

Thử các giá trị \(\orbr{\begin{cases}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{cases}}\)

Ta thấy : \(y=-3\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó : \(x^2+5.\left(-3\right)^2+2\left(-3\right)-4x\left(-3\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=-6\)

Vậy : \(\left(x,y\right)=\left(-6,-3\right)\) với y nhỏ nhất thỏa mãn đề.

P/s : Không chắc lắm ....

b, Ta có \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\)(1)

Vì m,n lẻ nên \(\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)