a: Xét (O) có

\(\widehat{NBC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

\(\widehat{NAC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

Do đó: \(\widehat{NBC}=\widehat{NAC}\)

Xét ΔMAC và ΔMBN có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MBN}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMAC đồng dạng với ΔMBN

=>\(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MC}{MN}\)

=>\(MA\cdot MN=MB\cdot MC\)

MO là trung trực của AI => MO vuông góc AI, có BI vuông góc AI => MO || BI

Ta thấy MA.MI là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến (O), MCD là cát tuyến của (O), do đó \(\left(ICAD\right)=-1\)

Vì B nằm trên (O) nên \(B\left(ICAD\right)=-1\), mà MO || BI, MO cắt BC,BA,BD tại E,O,F nên O là trung điểm EF.

a: góc HCB+góc HEB=180 độ

=>HCBE nội tiếp

Xét ΔACH vuông tại C và ΔAEB vuông tại E có

góc CAH chung

=>ΔACH đồng dạng với ΔAEB

=>AC/AE=AH/AB

=>AC*AB=AE*AH

b: góc IDH=1/2*sđ cung DB

góc IHD=90 độ-góc AMH=1/2*sđ cung DB

=>góc IDH=góc IHD

=>ΔIHD cân tại I

a) Ta có 

C A B ⏜ = 90 0 O H C ⏜ = 90 0 ⇒ C A B ⏜ + O H C ⏜ = 180 0                            

Vậy tứ giác AOHC nội tiếp.                                                   

b) Ta có  C A D ⏜ = A E C ⏜ ,   A C E ⏜  chung suy ra  Δ A C D ~ Δ E C A  (g.g)

⇒ C A C E = A D A E ⇒ A C . A E = A D . C E

c) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB tại I và cắt cạnh BD tại F ⇒ H E I ⏜ = H C O ⏜ .

Vì tứ giác AOHC nội tiếp  ⇒ H A O ⏜ = H C O ⏜ = H E I ⏜ .

Suy ra tứ giác AHIE nội tiếp  ⇒ I H E ⏜ = I A E ⏜ = B D E ⏜ ⇒ H I / / B D .

Mà H là trung điểm của DE=> I là trung điểm của EF. Có EF//MN và IE= IF

=> O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Suy ra tứ giác AMBN là hình bình hành => AM//BN.