Bài 2. Cho tập hợp A = f1; 2; 3; · · · ; 2ng. Chứng minh rằng nếu ta lấy ra n + 1 số khác nhau từ tập A, luôn
có 2 số chia hết cho nhau.
Bài 3. Các số 1; 2; 3; · · · ; 2020 ban đầu được viết lên bảng theo một thứ tự bất kì. Ở mỗi bước, chọn 2 số bất
kì và đổi chỗ 2 số đó. Hỏi sau 6969 bước, ta có thể thu được dãy số viết ban đầu hay không?
Bài 4. Trên một đường tròn, ta viết 2 số 1 và 48 số 0 theo thứ tự 1; 0; 1; 0; 0; · · · ; 0. Mỗi phép biến đổi, ta
thay một 2 cặp 2 số liền nhau bất kì (x; y) bởi (x + 1; y + 1). Hỏi nếu ta lặp lại thao tác trên thì có thể đến 1
lúc nào đó thu được 50 số giống nhau hay không?
Bài 5. Trên đường tròn lấy theo thứ tự 12 điểm A1; A2; A3; · · · ; A12. Tại điểm A1 ta viết số -1, tại các đỉnh
còn lại ta viết số 1. Ở mỗi bước, chọn 6 điểm kề nhau bất kì và đổi dấu tất cả các số tại các điểm đó. Hỏi nếu
ta lặp lại thao tác trên thì có thể đến 1 lúc nào đó thu được trạng thái: điểm A2 viết số -1, các đỉnh còn lại
viết số 1, hay không?
Bài 6. Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm n, biết:
a) n + S(n) + S(S(n)) = 2019.
b) n + S(n) + S(S(n)) = 2020.
Bài 7. Giả sử (a1; a2; a3; · · · ; an) là 1 hoán vị của (1; 2; 3; · · · ; n) (là các số 1; 2; 3; · · · ; n nhưng viết theo
thứ tự tùy ý). Chứng minh rằng nếu n lẻ thì số P = (a1 - 1)(a2 - 2)(a3 - 3) · · · (an - n) là số chẵn.
Bài 8. Trên bàn có 6 viên sỏi, được chia thành vài đống nhỏ. Mỗi phép biến đổi được thực hiện như sau: ta
lấy ở mỗi đống 1 viên và lập thành đống mới. Hỏi sau 69 bước biến đổi như trên, các viên sỏi trên bàn được
chia thành mấy đống?
Bài 9. Xung quanh công viên người ta trồng n cây, giả sử trên mỗi cây có 1 con chim. Ở mỗi lượt, có 2 con
chim đồng thời bay sang cây bên cạnh theo hướng ngược nhau.
a) Với n lẻ, chứng tỏ rằng có thể có cách để tất cả các con chim cùng đậu trên một cây.
b) Chứng minh điều ngược lại với n chẵn.