Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. \(2x - y + 1 = 0\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.\)
C. \({x^2} + {y^2} = 1\)
D. \(y = 2x + 3\)
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. \( - x - 2y + 3 = 0\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)
C. \({y^2} = 2x\)
D. \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)
Cho phương trình hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:2x + 3y - 5 = 0\).
a) Lập phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\)
b) Lập phương trình tham số của \({\Delta _2}\)
a) Đường thẳng \({\Delta _1}\)có một vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( {2;5} \right)\)
Do đó \({\overrightarrow n _{{\Delta _1}}} = \left( { - 5;2} \right)\), đồng thời \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(M\left( {1;3} \right)\) nên phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) là: \(-5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 1 = 0\).
b) Đường thẳng \({\Delta _2}\)có một vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{{\Delta _2}}} = \left( {2;3} \right)\)
Do đó \({\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( { - 3;2} \right)\), đồng thời \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(N\left( {1;1} \right)\) nên phương trình tham số của \({\Delta _2}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 0\\y - x > 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z < 0\\y < 0\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < {3^2}\\{4^2}x + 3y < 1\end{array} \right.\)
a) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x < 0\) và \(y \ge 0\)
=> Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 0\\y - x > 1\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(x + {y^2} < 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa \({y^2}\))
c) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z < 0\\y < 0\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(x + y + z < 0\) có 3 ẩn không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < {3^2}\\{4^2}x + 3y < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < 9\\16x + 3y < 1\end{array} \right.\)
Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \( - 2x + y < 9\) và \(16x + 3y < 1\)
Cho đường thẳng \(\Delta \)có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 2 + t\end{array} \right.\)
a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).
b) Điểm nào trong các điểm \(C( - 1: - 1).{\rm{ }}D\left( {1:3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \)?
a) Chọn \(t = 0;t = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( { - 1; - 1} \right)\)
b) +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\ - 1 = - 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên C không thuộc đường thẳng \(\Delta \)
+) Thay tọa độ điểm D vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\3 = - 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên D không thuộc đường thẳng \(\Delta \)
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {y^3} < 0\\x + y > 3\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 0\\{y^2} + 3 < 0\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l} - {x^3} + y < 4\\x + 2y < 1\end{array} \right.\)
Ta thấy hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x - y < 0;2y \ge 0\).
=> Chọn A.
Đáp án B loại vì \(3x + {y^3} < 0\) chứa \(y^3\).
Đáp án C loại vì \({y^2} + 3 < 0\) chứa \(y^2\).
Đáp án D loại vì \( - {x^3} + y < 4\) chứa \(x^3\).
Cho đường thẳng d có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\)
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy.
c) Đường thẳng d có đi qua điểm M(-7; 5) hay không?
a) Xét phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\left( 1 \right)\\y = 2 + 2t\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Lấy \(\left( 1 \right) + \frac{3}{2}.\left( 2 \right) \Rightarrow x + \frac{3}{2}y = 2 \Rightarrow 2x + 3y - 4 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là: \(2x + 3y - 4 = 0\)
b) Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 4 = 0\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{4}{3}\\x = 0\end{array} \right.\) . Vậy giao điểm của d với trục Oy là: \(A\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\)
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 4 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 2\end{array} \right.\) . Vậy giao điểm của d với trục Ox là: \(B\left( {2;0} \right)\)
c) Thay tọa độ điểm \(M\left( { - 7;{\rm{ }}5} \right)\)vào phương trình đường thẳng d ta có: \(2.\left( { - 7} \right) + 3.5 - 4 \ne 0\)
Vậy \(M\left( { - 7;{\rm{ }}5} \right)\)không thuộc đường thẳng d.
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}y - x < - 1\\x > 0\\y < 0\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 4\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + y > 5\\x - y < 0\end{array} \right.\)
a)
Xác định miền nghiệm của BPT \(y - x < - 1\)
+ Vẽ đường thẳng d: \(y-x= - 1\) đi qua A(1;0) và B(0;-1)
+ Vì \(0-0= 0 > - 1\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn BPT \(y - x < - 1\)
Do đó, miền nghiệm của BPT \(y - x < - 1\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.
Miền nghiệm của BPT \(x > 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (không kể trục Oy).
Miền nghiệm của BPT \(y < 0\) là nửa mặt phẳng dưới Ox (không kể trục Ox).
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không gạch (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).
b)
Miền nghiệm của BPT \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (kể cả trục Oy).
Miền nghiệm của BPT \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (kể cả trục Ox).
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\)
+ Vẽ đường thẳng d: \(2x + y = 4\) đi qua A(2;0) và B(0;4)
+ Vì \(2.0 + 0 = 0 < 4\) nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn BPT \(2x + y \le 4\)
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).
c)
Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (kể cả trục Oy).
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 5\)
+ Vẽ đường thẳng d: \(x + y = 5\)
+ Vì \(0 + 0 = 0 < 5\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y > 5\).
Do đó, miền nghiệm của BPT \(x + y > 5\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\)
+ Vẽ đường thẳng d: \(x - y = 0\)
+ Vì \(1 - 0 = 1 > 0\) nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x - y < 0\)
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu trắng (không kể d và d’)
Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây?
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\\x \ge - 3\\y \ge - 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}y \le x\\x \le 0\\y \ge - 3\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge - x + 1\\x \le 2\\y \le 1\end{array} \right.\)
Hình 12a
Ta thấy các đường thẳng trên hình là \(y = 1;x = 2;y = - x + 1\)
Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu c mà không cần xét tiếp.
Hình 12b.
Ta thấy các đường thẳng trên hình là \(y = - 1;x = - 3;x + y = - 2\)
Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu a mà không cần xét tiếp
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 2\\x - y \le 1\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. (1;1)
B. (2;0)
C. (3;2)
D. (3;-2)
(1;1) không thuộc miền nghiệm vì 1+1=2>2 (Vô lý) => Loại A
(2;0) không thuộc miền nghiệm vì 2+0=2>2 (Vô lý) => Loại B
(3;2) thuộc miền nghiệm vì: 3+2 =5 > 2 (đúng) và \(3 - 2 = 1 \ge 1\) (đúng)
(3;-2) không thuộc miền nghiệm vì 3+ (-2)=1>2 (Vô lý) => Loại D
Chọn C.