a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u  = a.b + b.( - a) = 0\)

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá là đường thẳng \(\Delta\)

=> luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \)

=> vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có phương vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)

\(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = (b; - a)\)

M và \({M_0}\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương

\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = b\\{y_0} - y =  - a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - b\\y = {y_0} + a\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình \(ax + by + c = 0\) ta có:

\(a\left( {{x_0} - b} \right) + b\left( {{y_0} + a} \right) + c = \left( { - ab + ba} \right) + \left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0\)      (đúng vì \( - a{x_0} - b{y_0} = c\))

Vậy \(M(x;y)\) thỏa mãn phương trình đã cho

\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\) mà \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = {u_1}\\{y_0} - y = {u_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - {u_1}\\y = {y_0} - {u_2}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)

a) Biểu thức tọa độ của hai vt \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\overrightarrow {{M_0}I} \) là \(\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)\), \(\overrightarrow {{M_0}I}  = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I}  = \left( {x - {x_0}} \right)\left( {a - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\)

c) \(\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M}  \bot \overrightarrow {{M_0}I} \)

Mà \({M_0}I\) là đoạn thẳng nối tâm với điểm nằm ngoài

Vậy ta thấy pt đường thẳng \(M{M_0}\) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \({M_0}\)

a) Phương của hai vecto \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\)

Xét điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \Delta \). Vì \(\overrightarrow {{M_o}M}  \bot \overrightarrow n \) nên: \(\overrightarrow {{M_o}M} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a{x_o} + b{y_o} = 0\) 

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

\( M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow n \)

Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\) (ĐPCM).

a) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM.1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\)

b) Ta có : \(\overrightarrow n  = \left( {{\rm{a }};{\rm{ b}}} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne 0} \right){\rm{ ,}}\overrightarrow {HM}  = \left( {{x_1} - {x_o};{y_1} - {y_o}} \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {HM}  = a\left( {{x_o} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_o} - {y_1}} \right) = a{x_o} + b{y_o} + c\) trong đó \(a{x_1} + b{y_1} = c\).

c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM \Rightarrow HM = \frac{{\left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)