+) Chọn dãy số gồm 2014 số 

 1,11,111,....,111..11

                 (2014 cs1)

+) Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho2013

 Giả sử số đó là 111...11-111...11    (m>n)

                           (m cs1) (n cs 1)

=>111..1  -  11...1 chia hết cho 2013

=111...100..0    chia hết cho 2013

(m-n cs 1)(n cs0)

=111..1.10ⁿ

(m-n cs 1)

Mà 10ⁿ ko chia hết cho 2013 

=>111..1 chia hết cho 2013 => ĐPCM (điều phải cm)

(m-n cs 1)

cho mình xin k nha

olm là con  chó

Đó là số \(10000101\)

Xét 31 số

7

77

777

...

7777....7777

31 chữ số 7

Nếu có 1 trong 31 số chia hết cho 31 thì bài toán được chứng minh

Nếu ko có số nào chia hết cho 31 thì ta có:Mọi số tự nhiên ko chia hết cho 31 thì có 30 trường hợp dư là 1;2;3;4;...;30 có 30 trường hợp

Mà số 31 số nên theo nguyên lý Đi rích-lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 31

Gọi 2 số đó là:77777.....77777                       77777............77777                \(\left(1\le n< m\le31\right)\)

                    n chữ số                                 m chữ số

\(\Rightarrow777...7777-7777....777⋮31\)

     m chữ số            n chữ số

\(\Rightarrow777.....777.10^n⋮31\)

   m-n chữ số

Mà (10^n,31)=1

\(\Rightarrow7777.....77777⋮31\)

    m-n chứ số

Ró ràng m-n>0 vì m>n

Suy ra điều phải chứng minh

Xét 2011 số có dạng 1,11,111,...,111...1(có 2012 chữ số 1)

Vì ở đây có 2012 số nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2011

Giả sử 2 số đó là 111...1(có m chữ số) và 111...1(có n chữ số) (m,n ∈ N*, m ≥ n

Vì chúng có cùng số dư khi chia cho 2011 nên khi trừ đi cho nhau thì chũng chia hết cho 2011.

=> 111...1(có m chữ số) - 111...1(có n chữ số) ⋮ 2011

=> 111...1(có m-n chữ số)000...0(có n chữ số 0)

=> 111...1(có m-n chữ số).10ⁿ ⋮ 2011

Mà UCLN(10ⁿ,2011)=1 => 111...1(có m-n chữ số 1) ⋮ 2011 (đpcm)