2. \(\left(x^2+x\right)\left(x+2\right)-15y=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)-15y\)

Vì \(x\), \(x+1\)và \(x+2\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮3\)

mà \(15y⋮3\)\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)-15y⋮3\)

hay \(\left(x^2+x\right)\left(x+2\right)-15y⋮3\)( đpcm )

Mình cảm ơn ạ !!!

Ta có: x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x²-y²)(x²+y²)

                                        =xy(x-y)(x+y)(x²+y²)

Ta cần cm bt trên chia hết cho 2,3 và 5

Nếu x,y cùng tính chẵn lẻ thì x-y chẵn=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2   (1)

Nếu x,y không cùng tính chẵn lẻ thi x+y chẵn=>2   (2)

Từ (1) và (2)=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2 với mọi x,y nguyên (13)

Nếu x hoặc y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3  (3)

Nếu x và y chia 3 có cùng số dư thì x-y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 (4)

Nếu x,y chia 3 không cùng số dư thi x+y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3   (5)

Từ (3),(4) và (5)=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 với mọi x,y nguyên  (14)

Nếu x hoặc y chia hết cho 5 thì x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (6)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 2 và ngược lại thì x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (7)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 3 

và ngược lại thì x+y  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (8)

Nếu x chia 5 dư 3, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì 

x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (9)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x+y chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (10)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 3 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (11)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (12)

Từ (6),(7),(8),(9),(10),(11)và (12)

=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5 với mọi x,y nguyên (15)

Từ (13),(14) và (15) Mà (3;4;5)=1

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30 với mọi x,y nguyên

=>đpcm

Đặt \(xy-12x+15y\)là (*)

Từ phương trình (1) ta có \(x^2-3xy+2y^2+x-y=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)+\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=2y-1\end{cases}}\)

Với \(x=y\)thay vào (2) ta có \(x^2-2x^2+x^2-5x+7x=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow x=y=0\)

Thay \(x=y=0\)vào (*) ta thấy 0.0-12.0+15.0=0(tm)

Với \(x=2y-1\Rightarrow\left(2y-1\right)^2-2\left(2y-1\right)y+y^2-5\left(2y-1\right)+7y=0\)

\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1-4y^2+2y+y^2-10y+5+7y=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-5y+6=0\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=5\end{cases}}}\)

Với \(x=3;y=2\)thay vào (*)  ta thấy \(3.2-12.3+15.0=0\left(tm\right)\)

Với \(x=5;y=3\)thay vào (*)  ta thấy \(5.3-12.5+15.3=0\left(tm\right)\)

Vậy .....

2314654564

Hơn 170 điểm đã  là CTV rồi 

a) x(x² + x) + x(x + 1)

= x²(x + 1) + x(x + 1)

= (x + 1)(x² + x)

= x(x + 1)² ⋮ (x + 1)

b) xy² - yx² + xy

= xy(y - x + 1) ⋮ xy

Vì x^2+1 chia hết xy+1 nên y^2(x^2+1) chia hết xy+1

hay x^2y^2 +y^2 chia hết xy+1.

Ta có x^2y^2+y^2=(x^2y^2 +2xy+1) +y^2 -2xy-1   Thêm và bớt 2xy+1

=(x^2y^2 +2xy+1) -2(xy+1) +y^2+1

=(xy+1)^2 -2(xy+1) +y^2+1 suy ra y^2+1  chia hết xy+1

Vì x^2+1 chia hết xy+1 nên y^2(x^2+1) chia hết xy+1

Hay x^2y^2 +y^2 chia hết xy+1.

Ta có x^2y^2+y^2=(x^2y^2 +2xy+1) +y^2 -2xy-1   Thêm và bớt 2xy+1

=(x^2y^2 +2xy+1) -2(xy+1) +y^2+1

=(xy+1)^2 -2(xy+1) +y^2+1 suy ra y^2+1  Chia hết xy+1