Kẻ AH vuông với BC
$cóA{\mathrm{M2}}^{}=A{\mathrm{H2}}^{}+H{\mathrm{M2}}^{}$
$2(A{\mathrm{C2}}^{}+A{\mathrm{B2}}^{})-B{\mathrm{C2}}^{}$=$2(2A{\mathrm{H2}}^{}+B{\mathrm{H2}}^{}+C{\mathrm{H2}}^{})-(BH+CH{)2}^{}$=$4A{\mathrm{H2}}^{}+(HC-BH{)}^{}$
=$4A{\mathrm{H2}}^{}+\left[\right(HM+MC)-(MB-MH){]}^{}$=$4A{\mathrm{H2}}^{}+(2HM{)2}^{}$=$4A{\mathrm{H2}}^{}+4H{\mathrm{M2}}^{}$

\(\Rightarrow\) \(\frac{2\left(AC^2+AB^2\right)-BC^2}{4}=AH^2+HM^2\)= AM²
\(\Rightarrow\)dpcm

Giả sử \(\Delta\)ABC có hai đường trung tuyến BE và CF vuông góc với nhau, AD là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng minh AD^2 = BE^2 + CF^2

Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho EF = FK

Tứ giác AKCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AKCF là hình bình hành => AK//FC. Mà FC\(\perp\)BE nên BE\(\perp\)AK (*)

Ta có: F là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên EF là đường trung bình của\(\Delta\)ABC => EF =  1/2BC và EF//BC hay EK//BD (1)

Mà BD = 1/2BC (gt) nên EF = BD => EK = BD (do EF = EK theo cách chọn điểm phụ)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKDB là hình bình hành => EB // DK (**)

Từ (*) và (**) suy ra DK \(\perp\)AK => \(\Delta\)AKD vuông tại K => AK^2 + KD^2 = AD^2 (theo định lý Py-ta-go)

Mà AK = FC (do AKCF là hình bình hành) và KD = BE (do EKDB là hình bình hành) nên AD^2 = BE^2 + CF^2 (đpcm)

http://pitago.vn/question/chung-minh-rang-trong-mot-tam-giac-a-binh-phuong-cua-canh-3689.html?grade=5

Cho tam giác ABC; A'B'C' ; đường trung tuyến AM; A'M' thỏa mãn các điều kiện như đã cho

Gọi H là điểm đối xứng với A qua M; K là điểm đối xứng với A' qua M'

+) Tam giác AMC và HMB có: MC = MB (vì M là trung điểm của BC); góc AMC = HMB (đối đỉnh); AM = HM 

=> tam giác AMC = HMB ( c - g - c)  => AC = HB 

+) Tương tự, tam giác A'M'C' = KM'B' ( c - g - c)  => A'C' = KB' 

mà AC = A'C' nên HB = KB'

+) Tam giác ABH và A'B'K có: AB = A'B'; BH = B'K; AH = A'K ( vì AH = 2.AM; A'K = 2.A'M' mà AM = A'M')

=> tam giác ABH = A'B'K ( c- c- c) => góc BAM = B'A'M'   (1)

+) Chứng minh tương tự, ta có: tam giác ACH = A'C'K ( c - c - c) => góc CAM = C'A'M'   (2)

Từ (1)(2) => góc BAM + CAM = B'A'M' + C'A'M' => góc BAC = góc B'A'C' 

+) Xét tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B'; góc BAC = B'A'C'; AC= A'C'

=> Tam giác ABC = A'B'C' (c - g- c)

Vậy.....

Ở câu hỏi tg tự có cô Loan trả lời đầy đủ đấy bn

Chứng minh rằng trong tam giác vuông, bình phương trung tuyến ứng với cạnh góc vuông= bình phương cạnh huyền trừ 3/4 cạnh góc vuông đó có cô loan giải đó

câu hỏi : Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông, bình phương trung tuyến ứng với cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền trừ 3/4 bình phương cạnh góc vuông đó. đã có người hỏi, cô Loan trả lời rồi đó. bạn vào CÂU HỎI TƯƠNG TỰ mà xem.

TICK MK NHA!