Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.

Lý thuyết số có thể chia thành một vài lĩnh vực dựa theo phương pháp giải và các dạng bài toán được xem xét. (Xem Danh sách các chủ đề của lý thuyết số).

Cụm từ "số học" cũng được sử dụng để nói đến lý thuyết số. Đây là cụm từ không còn được sử dụng rộng rãi nữa. Tuy nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số lĩnh vực toán học (hàm số học, số học đường cong elliptic, lý thuyết căn bản của số học). Việc sử dụng cụm từ số học ở đây không nên nhầm lẫn với số học sơ cấp.

Mục lục

1Các lĩnh vực

1.1Lý thuyết số sơ cấp

1.2Lý thuyết số giải tích

1.3Lý thuyết số đại số

1.4Lý thuyết số hình học

1.5Lý thuyết số tổ hợp

1.6Lý thuyết số máy tính

2Lịch sử

2.1Lý thuyết số thời kì Vedic

2.2Lý thuyết số của người Jaina

2.3Lý thuyết số Hellenistic

2.4Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển

2.5Lý thuyết số của người Hồi giáo

2.6Lý thuyết số châu Âu ban đầu

2.7Mở đầu lý thuyết số hiện đại

2.8Lý thuyết số về số nguyên tố

2.9Các thành tựu trong thế kỉ 19

2.10Các thành tựu trong thế kỉ 20

3Danh ngôn

4Tham khảo

5Liên kết ngoài

Các lĩnh vực[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết số sơ cấp, các số nguyên được nghiên cứu mà không cần các kĩ thuật từ các lĩnh vực khác của toán học. Nó nghiên cứu các vấn đề về chia hết, cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất, phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố, việc nghiên cứu các số hoàn thiện và đồng dư.

Rất nhiều vấn đề trong lý thuyết số có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng chúng cần những nghiên cứu sâu sắc và những tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực lý thuyết số để giải quyết.

Một số ví dụ:

Giả thuyết Goldbach nói về việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.

Giả thuyết Catalan (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy thừa nguyên liên tiếp.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói rằng có vô hạn số nguyên tố sinh đôi

Giả thuyết Collazt nói về một dãy đệ quy đơn giản

Định lý lớn Fermat (nêu lên vào năm 1637, đến năm 1994 mới được chứng minh) nói rằng phương trình {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}📷 không có nghiệm nguyên khác không với n lớn hơn 2.

Lý thuyết về phương trình Diophantine thậm chí đã được chứng minh là không có phương pháp chung đề giải (Xem Bài toán thứ 10 của Hilbert)

Lý thuyết số giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết giải tích số sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên. Định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Bài toán Waring(biểu diễn một số nguyên cho trước thành tổng các bình phương, lập phương, v.v...), giả thuyết số nguyên tố sinh đôi và giả thuyết Goldbach cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết giải tích số. Trong khi những phát biểu về các số siêu việt dường như đã bị loại bỏ khỏi việc nghiên cứu về các số nguyên, chúng thực sự nghiên cứu giá trị của các đa thức với hệ số nguyên tại, ví dụ, e; chúng cũng liên quan mật thiết với lĩnh vực xấp xỉ Diophantine, lĩnh vực nghiên cứu một số thực cho trước có thể xấp xỉ bởi một số hữu tỉ tốt tới mức nào.

Lý thuyết số đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Trong Lý thuyết số đại số, khái niệm của một số được mở rộng thành các số đại số, tức là các nghiệm của các đa thức với hệ số nguyên. Những thứ này bao gồm những thành phần tương tự với các số nguyên, còn gọi là số nguyên đại số. Với khái niệm này, những tính chất quen thuộc của số nguyên (như phân tích nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của những công cụ lý thuyết - Lý thuyết Galois, group cohomology, class field theory, biểu diễn nhóm và hàm L - là nó cho phép lấy lại phần nào trật tự của lớp số mới.

Rất nhiều vấn đề lý thuyết số có thể được giải quyết một cách tốt nhất bởi nghiên cứu chúng theo modulo p với mọi số nguyên tố p (xem các trường hữu hạn). Đây được gọi là địa phương hóa và nó dẫn đến việc xây dựng các số p-adic; lĩnh vực nghiên cứu này được gọi là giải tích địa phương và nó bắt nguồn từ lý thuyết số đại sô.

Lý thuyết số hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số hình học (cách gọi truyền thống là (hình học của các số) kết hợp tất cả các dạng hình học. Nó bắt đầu với định lý Minkowski về các điểm nguyên trong các tập lồi và những nghiên cứu về sphere packing.

Lý thuyết số tổ hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số tổ hợp giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc cách chứng minh của nó. Paul Erdős là người khởi xướng chính của ngành lý thuyết số này. Những chủ đề thông thường bao gồm hệ bao, bài toán tổng-zero, rất nhiều restricted sumset và cấp số cộng trong một tập số nguyên. Các phương pháp đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.

Lý thuyết số máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số máy tính nghiên cứu các thuật toán liên quan đến lý thuyết số. Những thuật toán nhanh chóng để kiểm tra tính nguyên tố và phân tích thừa số nguyên tố có những ứng dụng quan trọng trong mã hóa.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số thời kì Vedic[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà toán học Ấn Độ đã quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine từ thời kì Vedic. Những ứng dụng sớm nhất vào hình học của phương trình Diophantine có thể tìm thấy trong kinh Sulba, được viết vào khoảng giữa thế kỉ thứ 8 và thế kỉ thứ 6 trước Công nguyên. Baudhayana (năm 800 TCN) tìm thấy hai tập nghiệm nguyên dương của một hệ các phương trình Diophantine, và cũng sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới bốn ẩn. Apastamba (năm 600) sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.

Lý thuyết số của người Jaina[sửa | sửa mã nguồn]

Ở Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã phát triển lý thuyết số có hệ thống đầu tiên từ thế kỉ thứ 4 trước Công Nguyên tới thế kỉ thứ 2. Văn tự Surya Prajinapti (năm 400 TCN) phân lớp tất cả các số thành ba tập: đếm được, không đếm được và vô hạn. Mỗi tập này lại được phân thành ba cấp:

Đếm được: thấp nhất, trung bình, và cao nhất.

Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, và không đếm được một cách không đếm được.

Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một cách vô hạn

Những người Jain là những người đầu tiên không chấp nhận ý tưởng các vô hạn đều như nhau. Họ nhận ra năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hoặc hai hướng (một chiều), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn mọi nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).

Số đếm được cao nhất N của người Jain tương ứng với khái niệm hiện đại aleph-không {\displaystyle \aleph _{0}}📷 (cardinal number của tập vô hạn các số nguyên 1,2,...), the smallest cardinal transfinite number. Người Jain cũng định nghĩa toàn bộ hệ thống các cardinal number, trong đó {\displaystyle \aleph _{0}}📷 là nhỏ nhất.

Trong công trình của người Jain về lý thuyết tập hợp, họ phân biệt hai loại transfinite number cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và bản thể học (ontology), sự khác nhau được tạo ra giữa asmkhyata và ananata, giữa vô hạn bị chặn ngặt và vô hạn bị chặn lỏng.

Lý thuyết số Hellenistic[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số là một đề tài ưa thích của các nhà toán học Hellenistic ở Alexandria, Ai Cập từ thế kỉ thứ 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận thức được khái niệm phương trình Diophantine trong rất nhiều trường hợp đặc biệt. Nhà toán học Hellenistic đầu tiên nghiên cứu những phương trình này là Diophantus.

Diophantus cũng đã tìm kiếm một phương pháp để tìm nghiệm nguyên của các phương trình vô định tuyến tính, những phương trình mà thiếu điều kiện đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình {\displaystyle x+y=5}📷 là một phương trình như vậy. Diophantus đã khám phá ra nhiều phương trình vô định có thể biến đổi thành các dạng đã biết mặc dù thậm chí còn không biết được nghiệm cụ thể.

Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính {\displaystyle ay+bx=c}📷, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với phương trình tuyến tính vô định bằng phương pháp này.

Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell, như là {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.

Lý thuyết số của người Hồi giáo[sửa | sửa mã nguồn]

Từ thế kỉ 9, các nhà toán học Hồi giáo đã rất quan tâm đến lý thuyết số. Một trong những nhà toán học đầu tiên này là nhà toán học Ả Rập Thabit ibn Qurra, người đã khám phá ra một định lý cho phép tìm các cặp số bạn bè, tức là các số mà tổng các ước thực sự của số này bằng số kia. Vào thế kỉ 10, Al-Baghdadi đã nhìn vào một ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.

Vào thế kỉ 10, al-Haitham có thể là người đầu tiên phân loại các số hoàn hảo chẵn (là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số có dạng {\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}📷trong đó {\displaystyle 2^{k}-1}📷 là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu định lý Wilson (nói rằng p là số nguyên tố thì {\displaystyle 1+(p-1)!}📷 chia hết cho p). Hiện không rõ ông ta có biết cách chứng minh nó không. Định lý có tên là định lý Wilson vì căn cứ theo một lời chú thích của Edward Waring vào năm 1770 rằng John Wilson là người đầu tiên chú ý đến kết quả này. Không có bằng chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.

Các số bạn bè đóng vai trò quan trọng trong toán học của người Hồi giáo. Vào thế kỉ 13, nhà toán học Ba Tư Al-Farisi đã đưa ra một chứng minh mới cho định lý của Thabit ibn Qurra, giới thiệu một ý tưởng mới rất quan trọng liên quan đến phương pháp phân tích thừa số và tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà người ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao biết rằng những số này còn được biết đến sớm hơn cả al-Farisi, có thể bởi chính Thabit ibn Qurra. Vào thế kỉ 17, Muhammad Baqir Yazdi đưa ra cặp số bạn bè 9.363.584 và 9.437.056 rất nhiều năm trước khi Euler đưa ra.

Lý thuyết số châu Âu ban đầu[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số bắt đầu ở Châu Âu vào thế kỉ 16 và 17, với François Viète, Bachet de Meziriac, và đặc biệt là Fermat, mà phương pháp lùi vô hạn của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. Định lý lớn Fermat được nêu lên như là một bài toán vào năm 1637, và không có lời giải cho đến năm 1994. Fermat cũng nêu lên bài toán {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 vào năm 1657.

Vào thế kỉ 18, Euler và Lagrange đã có những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm một vài công trình về lý thuyết giải tích số, và tình được một nghiệm tổng quát của phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷, mà Fermat nêu thành bài toán. Lagrange đã tìm được một nghiệm của phương trình Pell tổng quát hơn. Euler và Lagrange đã giải những phương trình Pell này bằng phương pháp liên phân số, mặc dù nó còn khó hơn phương pháp chakravala của Ấn Độ.

Mở đầu lý thuyết số hiện đại[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng đầu thế kỉ 19 các cuốn sách của Legendre (1798), và Gauss kết hợp thành những lý thuyết có hệ thống đầu tiên ở châu Âu. Cuốn Disquisitiones Arithmeticae (1801) có thể nói là đã mở đầu lý thuyết số hiện đại.

Sự hình thành lý thuyết đồng dư bắt đầu với cuốn Disquisitiones của Gauss. Ông giới thiệu ký hiệu

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {c}},}📷

và đã khám phá ra hầu hết trong lĩnh vực này. Chebyshev đã xuất bản vào năm 1847 một công trình bằng tiếng Nga về chủ đề này, và ở Pháp Serret đã phổ biến nó.

Bên cạnh những công trình tổng kết trước đó, Legendre đã phát biểu luật tương hỗ bậc hai. Định lý này, được khám phá ra bởi qui nạp và được diễn đạt bởi Euler, đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn Théorie des Nombres của ông (1798) trong những trường hợp đặc biệt. Độc lập với Euler và Legendre, Gauss đã khám phá ra định luật này vào khoảng năm 1795, và là người đầu tiên đưa ra chứng minh tổng quát. Những người cũng có cống hiến quan trọng: Cauchy; Dirichlet với cuốn Vorlesungen über Zahlentheorie kinh điển; Jacobi, người đã đưa ra ký hiệu Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, và Kronecker. Lý thuyết này đã được mở rộng để bao gồm biquadratic reciprocity (Gauss, Jacobi những người đầu tiên chứng minh luật tương hỗ bậc ba, và Kummer).

Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành các dạng bậc hai cơ số hai.

Lý thuyết số về số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Một chủ đề lớn và lặp đi lặp lại trong lý thuyết số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. Carl Fiedrich Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.

Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước. Riemann giới thiệu giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann. Điều này đã dẫn đến mối quan hệ giữa các số không của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố, thậm chí dẫn tới một chứng minh cho định lý số về số nguyên tố độc lập với Hadamard và de la Vallée Poussin vào năm 1896. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được đưa ra sau đó bởi Paul Erdős và Atle Selberg vào năm 1949. Ở đây sơ cấp nghĩa là không sử dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng minh vẫn rất đặc biệt và rất khó. Giả thuyết Riemann, đưa ra những thông tin chính xác hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.

Các thành tựu trong thế kỉ 19[sửa | sửa mã nguồn]

Cauchy, Pointsot (1845), Lebesgue (1859, 1868) và đặc biệt là Hermite đã có những cống hiến đối với lĩnh vực này. Trong lý thuyết về các ternary form Eisenstein đã trở thành người đi đầu, và với ông và H. J. S. Smith đó đúng là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết về các dạng. Smith đã đưa ra một sự phân loại hoàn chỉnh về các ternary form bậc hai, và mở rộng những nghiên cứu của Gauss về các dạng bậc hai thực (real quadratic form) thành các dạng phức (complex form). Những nghiên cứu về biểu diễn các số thành tổng của 4, 5, 6, 6, 8 bình phương đã được phát triển bởi Eisenstein và lý thuyết này đã được hoàn chỉnh bởi Smith.

Dirichlet là người đầu tiên thuyết trình về lĩnh vực này ở một trường đại học ở Đức. Một trong những cống hiến của ông là sự mở rộng của Định lý lớn Fermat:

{\displaystyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n},(x,y,z\neq 0,n>2)}📷

mà Euler và Legendre đã chứng minh cho n = 3, 4 (và từ đó suy ra cho các bội của 3 và 4). Dirichlet đã chỉ ra rằng:{\displaystyle x^{5}+y^{5}\neq az^{5}}📷. Một số nhà toán học Pháp là Borel, Poincaré, những hồi ký của họ rất lớn và có giá trị; Tannery và Stieltjes. Một số người có những cống hiến hàng đầu ở Đức là Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, và Dedekind. Ở Austria cuốn Vorlesungen über allgemeine Arithmetik của Stolz (1885-86) và ở Anh cuốn Lý thuyết số của Mathew (Phần I, 1892) là các công trình tổng quát rất có giá trị. Genocchi, Sylvester, và J. W. L. Glaisher cũng đã có những cống hiến cho lý thuyết này.

Các thành tựu trong thế kỉ 20[sửa | sửa mã nguồn]

Những nhà toán học lớn trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm Paul Erdős, Gerd Faltings, G. H. Hardy, Edmund Landau, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan và André Weil.

Các cột mốc trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm việc chứng minh Định lý lớn Fermat bởi Andrew Wiles vào năm 1994 và chứng minh Giả thuyết Taniyama–Shimura vào năm 1999

Danh ngôn[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số là nữ hoàng của toán học. — Gauss

Chúa sinh ra các số nguyên, và phần việc còn lại là của con người. — Kronecker

Tôi biết các con số rất đẹp đẽ. Nếu chúng không đẹp, thì chẳng có thứ gì đẹp.— Erdős

Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.

Lý thuyết số có thể chia thành một vài lĩnh vực dựa theo phương pháp giải và các dạng bài toán được xem xét. (Xem Danh sách các chủ đề của lý thuyết số).

Cụm từ "số học" cũng được sử dụng để nói đến lý thuyết số. Đây là cụm từ không còn được sử dụng rộng rãi nữa. Tuy nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số lĩnh vực toán học (hàm số học, số học đường cong elliptic, lý thuyết căn bản của số học). Việc sử dụng cụm từ số học ở đây không nên nhầm lẫn với số học sơ cấp.

Mục lục

1Các lĩnh vực

1.1Lý thuyết số sơ cấp

1.2Lý thuyết số giải tích

1.3Lý thuyết số đại số

1.4Lý thuyết số hình học

1.5Lý thuyết số tổ hợp

1.6Lý thuyết số máy tính

2Lịch sử

2.1Lý thuyết số thời kì Vedic

2.2Lý thuyết số của người Jaina

2.3Lý thuyết số Hellenistic

2.4Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển

2.5Lý thuyết số của người Hồi giáo

2.6Lý thuyết số châu Âu ban đầu

2.7Mở đầu lý thuyết số hiện đại

2.8Lý thuyết số về số nguyên tố

2.9Các thành tựu trong thế kỉ 19

2.10Các thành tựu trong thế kỉ 20

3Danh ngôn

4Tham khảo

5Liên kết ngoài

Các lĩnh vực[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết số sơ cấp, các số nguyên được nghiên cứu mà không cần các kĩ thuật từ các lĩnh vực khác của toán học. Nó nghiên cứu các vấn đề về chia hết, cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất, phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố, việc nghiên cứu các số hoàn thiện và đồng dư.

Rất nhiều vấn đề trong lý thuyết số có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng chúng cần những nghiên cứu sâu sắc và những tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực lý thuyết số để giải quyết.

Một số ví dụ:

Giả thuyết Goldbach nói về việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.

Giả thuyết Catalan (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy thừa nguyên liên tiếp.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói rằng có vô hạn số nguyên tố sinh đôi

Giả thuyết Collazt nói về một dãy đệ quy đơn giản

Định lý lớn Fermat (nêu lên vào năm 1637, đến năm 1994 mới được chứng minh) nói rằng phương trình {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}📷 không có nghiệm nguyên khác không với n lớn hơn 2.

Lý thuyết về phương trình Diophantine thậm chí đã được chứng minh là không có phương pháp chung đề giải (Xem Bài toán thứ 10 của Hilbert)

Lý thuyết số giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết giải tích số sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên. Định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Bài toán Waring(biểu diễn một số nguyên cho trước thành tổng các bình phương, lập phương, v.v...), giả thuyết số nguyên tố sinh đôi và giả thuyết Goldbach cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết giải tích số. Trong khi những phát biểu về các số siêu việt dường như đã bị loại bỏ khỏi việc nghiên cứu về các số nguyên, chúng thực sự nghiên cứu giá trị của các đa thức với hệ số nguyên tại, ví dụ, e; chúng cũng liên quan mật thiết với lĩnh vực xấp xỉ Diophantine, lĩnh vực nghiên cứu một số thực cho trước có thể xấp xỉ bởi một số hữu tỉ tốt tới mức nào.

Lý thuyết số đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Trong Lý thuyết số đại số, khái niệm của một số được mở rộng thành các số đại số, tức là các nghiệm của các đa thức với hệ số nguyên. Những thứ này bao gồm những thành phần tương tự với các số nguyên, còn gọi là số nguyên đại số. Với khái niệm này, những tính chất quen thuộc của số nguyên (như phân tích nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của những công cụ lý thuyết - Lý thuyết Galois, group cohomology, class field theory, biểu diễn nhóm và hàm L - là nó cho phép lấy lại phần nào trật tự của lớp số mới.

Rất nhiều vấn đề lý thuyết số có thể được giải quyết một cách tốt nhất bởi nghiên cứu chúng theo modulo p với mọi số nguyên tố p (xem các trường hữu hạn). Đây được gọi là địa phương hóa và nó dẫn đến việc xây dựng các số p-adic; lĩnh vực nghiên cứu này được gọi là giải tích địa phương và nó bắt nguồn từ lý thuyết số đại sô.

Lý thuyết số hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số hình học (cách gọi truyền thống là (hình học của các số) kết hợp tất cả các dạng hình học. Nó bắt đầu với định lý Minkowski về các điểm nguyên trong các tập lồi và những nghiên cứu về sphere packing.

Lý thuyết số tổ hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số tổ hợp giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc cách chứng minh của nó. Paul Erdős là người khởi xướng chính của ngành lý thuyết số này. Những chủ đề thông thường bao gồm hệ bao, bài toán tổng-zero, rất nhiều restricted sumset và cấp số cộng trong một tập số nguyên. Các phương pháp đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.

Lý thuyết số máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số máy tính nghiên cứu các thuật toán liên quan đến lý thuyết số. Những thuật toán nhanh chóng để kiểm tra tính nguyên tố và phân tích thừa số nguyên tố có những ứng dụng quan trọng trong mã hóa.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số thời kì Vedic[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhà toán học Ấn Độ đã quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine từ thời kì Vedic. Những ứng dụng sớm nhất vào hình học của phương trình Diophantine có thể tìm thấy trong kinh Sulba, được viết vào khoảng giữa thế kỉ thứ 8 và thế kỉ thứ 6 trước Công nguyên. Baudhayana (năm 800 TCN) tìm thấy hai tập nghiệm nguyên dương của một hệ các phương trình Diophantine, và cũng sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới bốn ẩn. Apastamba (năm 600) sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.

Lý thuyết số của người Jaina[sửa | sửa mã nguồn]

Ở Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã phát triển lý thuyết số có hệ thống đầu tiên từ thế kỉ thứ 4 trước Công Nguyên tới thế kỉ thứ 2. Văn tự Surya Prajinapti (năm 400 TCN) phân lớp tất cả các số thành ba tập: đếm được, không đếm được và vô hạn. Mỗi tập này lại được phân thành ba cấp:

Đếm được: thấp nhất, trung bình, và cao nhất.

Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, và không đếm được một cách không đếm được.

Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một cách vô hạn

Những người Jain là những người đầu tiên không chấp nhận ý tưởng các vô hạn đều như nhau. Họ nhận ra năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hoặc hai hướng (một chiều), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn mọi nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).

Số đếm được cao nhất N của người Jain tương ứng với khái niệm hiện đại aleph-không {\displaystyle \aleph _{0}}📷 (cardinal number của tập vô hạn các số nguyên 1,2,...), the smallest cardinal transfinite number. Người Jain cũng định nghĩa toàn bộ hệ thống các cardinal number, trong đó {\displaystyle \aleph _{0}}📷 là nhỏ nhất.

Trong công trình của người Jain về lý thuyết tập hợp, họ phân biệt hai loại transfinite number cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và bản thể học (ontology), sự khác nhau được tạo ra giữa asmkhyata và ananata, giữa vô hạn bị chặn ngặt và vô hạn bị chặn lỏng.

Lý thuyết số Hellenistic[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số là một đề tài ưa thích của các nhà toán học Hellenistic ở Alexandria, Ai Cập từ thế kỉ thứ 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận thức được khái niệm phương trình Diophantine trong rất nhiều trường hợp đặc biệt. Nhà toán học Hellenistic đầu tiên nghiên cứu những phương trình này là Diophantus.

Diophantus cũng đã tìm kiếm một phương pháp để tìm nghiệm nguyên của các phương trình vô định tuyến tính, những phương trình mà thiếu điều kiện đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình {\displaystyle x+y=5}📷 là một phương trình như vậy. Diophantus đã khám phá ra nhiều phương trình vô định có thể biến đổi thành các dạng đã biết mặc dù thậm chí còn không biết được nghiệm cụ thể.

Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính {\displaystyle ay+bx=c}📷, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với phương trình tuyến tính vô định bằng phương pháp này.

Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell, như là {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.

Lý thuyết số của người Hồi giáo[sửa | sửa mã nguồn]

Từ thế kỉ 9, các nhà toán học Hồi giáo đã rất quan tâm đến lý thuyết số. Một trong những nhà toán học đầu tiên này là nhà toán học Ả Rập Thabit ibn Qurra, người đã khám phá ra một định lý cho phép tìm các cặp số bạn bè, tức là các số mà tổng các ước thực sự của số này bằng số kia. Vào thế kỉ 10, Al-Baghdadi đã nhìn vào một ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.

Vào thế kỉ 10, al-Haitham có thể là người đầu tiên phân loại các số hoàn hảo chẵn (là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số có dạng {\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}📷trong đó {\displaystyle 2^{k}-1}📷 là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu định lý Wilson (nói rằng p là số nguyên tố thì {\displaystyle 1+(p-1)!}📷 chia hết cho p). Hiện không rõ ông ta có biết cách chứng minh nó không. Định lý có tên là định lý Wilson vì căn cứ theo một lời chú thích của Edward Waring vào năm 1770 rằng John Wilson là người đầu tiên chú ý đến kết quả này. Không có bằng chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.

Các số bạn bè đóng vai trò quan trọng trong toán học của người Hồi giáo. Vào thế kỉ 13, nhà toán học Ba Tư Al-Farisi đã đưa ra một chứng minh mới cho định lý của Thabit ibn Qurra, giới thiệu một ý tưởng mới rất quan trọng liên quan đến phương pháp phân tích thừa số và tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà người ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao biết rằng những số này còn được biết đến sớm hơn cả al-Farisi, có thể bởi chính Thabit ibn Qurra. Vào thế kỉ 17, Muhammad Baqir Yazdi đưa ra cặp số bạn bè 9.363.584 và 9.437.056 rất nhiều năm trước khi Euler đưa ra.

Lý thuyết số châu Âu ban đầu[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số bắt đầu ở Châu Âu vào thế kỉ 16 và 17, với François Viète, Bachet de Meziriac, và đặc biệt là Fermat, mà phương pháp lùi vô hạn của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. Định lý lớn Fermat được nêu lên như là một bài toán vào năm 1637, và không có lời giải cho đến năm 1994. Fermat cũng nêu lên bài toán {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷 vào năm 1657.

Vào thế kỉ 18, Euler và Lagrange đã có những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm một vài công trình về lý thuyết giải tích số, và tình được một nghiệm tổng quát của phương trình {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}📷, mà Fermat nêu thành bài toán. Lagrange đã tìm được một nghiệm của phương trình Pell tổng quát hơn. Euler và Lagrange đã giải những phương trình Pell này bằng phương pháp liên phân số, mặc dù nó còn khó hơn phương pháp chakravala của Ấn Độ.

Mở đầu lý thuyết số hiện đại[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng đầu thế kỉ 19 các cuốn sách của Legendre (1798), và Gauss kết hợp thành những lý thuyết có hệ thống đầu tiên ở châu Âu. Cuốn Disquisitiones Arithmeticae (1801) có thể nói là đã mở đầu lý thuyết số hiện đại.

Sự hình thành lý thuyết đồng dư bắt đầu với cuốn Disquisitiones của Gauss. Ông giới thiệu ký hiệu

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {c}},}📷

và đã khám phá ra hầu hết trong lĩnh vực này. Chebyshev đã xuất bản vào năm 1847 một công trình bằng tiếng Nga về chủ đề này, và ở Pháp Serret đã phổ biến nó.

Bên cạnh những công trình tổng kết trước đó, Legendre đã phát biểu luật tương hỗ bậc hai. Định lý này, được khám phá ra bởi qui nạp và được diễn đạt bởi Euler, đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn Théorie des Nombres của ông (1798) trong những trường hợp đặc biệt. Độc lập với Euler và Legendre, Gauss đã khám phá ra định luật này vào khoảng năm 1795, và là người đầu tiên đưa ra chứng minh tổng quát. Những người cũng có cống hiến quan trọng: Cauchy; Dirichlet với cuốn Vorlesungen über Zahlentheorie kinh điển; Jacobi, người đã đưa ra ký hiệu Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, và Kronecker. Lý thuyết này đã được mở rộng để bao gồm biquadratic reciprocity (Gauss, Jacobi những người đầu tiên chứng minh luật tương hỗ bậc ba, và Kummer).

Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành các dạng bậc hai cơ số hai.

Lý thuyết số về số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Một chủ đề lớn và lặp đi lặp lại trong lý thuyết số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. Carl Fiedrich Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.

Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước. Riemann giới thiệu giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann. Điều này đã dẫn đến mối quan hệ giữa các số không của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố, thậm chí dẫn tới một chứng minh cho định lý số về số nguyên tố độc lập với Hadamard và de la Vallée Poussin vào năm 1896. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được đưa ra sau đó bởi Paul Erdős và Atle Selberg vào năm 1949. Ở đây sơ cấp nghĩa là không sử dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng minh vẫn rất đặc biệt và rất khó. Giả thuyết Riemann, đưa ra những thông tin chính xác hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.

Các thành tựu trong thế kỉ 19[sửa | sửa mã nguồn]

Cauchy, Pointsot (1845), Lebesgue (1859, 1868) và đặc biệt là Hermite đã có những cống hiến đối với lĩnh vực này. Trong lý thuyết về các ternary form Eisenstein đã trở thành người đi đầu, và với ông và H. J. S. Smith đó đúng là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết về các dạng. Smith đã đưa ra một sự phân loại hoàn chỉnh về các ternary form bậc hai, và mở rộng những nghiên cứu của Gauss về các dạng bậc hai thực (real quadratic form) thành các dạng phức (complex form). Những nghiên cứu về biểu diễn các số thành tổng của 4, 5, 6, 6, 8 bình phương đã được phát triển bởi Eisenstein và lý thuyết này đã được hoàn chỉnh bởi Smith.

Dirichlet là người đầu tiên thuyết trình về lĩnh vực này ở một trường đại học ở Đức. Một trong những cống hiến của ông là sự mở rộng của Định lý lớn Fermat:

{\displaystyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n},(x,y,z\neq 0,n>2)}📷

mà Euler và Legendre đã chứng minh cho n = 3, 4 (và từ đó suy ra cho các bội của 3 và 4). Dirichlet đã chỉ ra rằng:{\displaystyle x^{5}+y^{5}\neq az^{5}}📷. Một số nhà toán học Pháp là Borel, Poincaré, những hồi ký của họ rất lớn và có giá trị; Tannery và Stieltjes. Một số người có những cống hiến hàng đầu ở Đức là Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, và Dedekind. Ở Austria cuốn Vorlesungen über allgemeine Arithmetik của Stolz (1885-86) và ở Anh cuốn Lý thuyết số của Mathew (Phần I, 1892) là các công trình tổng quát rất có giá trị. Genocchi, Sylvester, và J. W. L. Glaisher cũng đã có những cống hiến cho lý thuyết này.

Các thành tựu trong thế kỉ 20[sửa | sửa mã nguồn]

Những nhà toán học lớn trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm Paul Erdős, Gerd Faltings, G. H. Hardy, Edmund Landau, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan và André Weil.

Các cột mốc trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm việc chứng minh Định lý lớn Fermat bởi Andrew Wiles vào năm 1994 và chứng minh Giả thuyết Taniyama–Shimura vào năm 1999

Danh ngôn[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số là nữ hoàng của toán học. — Gauss

Chúa sinh ra các số nguyên, và phần việc còn lại là của con người. — Kronecker

Tôi biết các con số rất đẹp đẽ. Nếu chúng không đẹp, thì chẳng có thứ gì đẹp.— Erdős

📷Một sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.

Lý thuyết tập hợp là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học.

Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp hiện đại do Cantor và Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi khám phá ra các nghịch lý trong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được đề nghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có các tiên đề Zermelo–Fraenkel, với tiên đề chọn là nổi tiếng nhất.

Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp được dùng trong định nghĩa của gần như tất cả các đối tượng toán học, như hàm số, và các khái niệm lý thuyết tập hợp được đưa nhiều chương trình giảng dạy toán học. Các sự kiện cơ bản về tập hợp và phần tử trong tập hợp có thể được mang ra giới thiệu ở cấp tiểu học, cùng với sơ đồ Venn, để học về tập hợp các đối tượng vật lý thường gặp. Các phép toán cơ bản như hội và giao có thể được học trong bối cảnh này. Các khái niệm cao hơn như bản số là phần tiêu chuẩn của chương trình toán học của sinh viên đại học.

Lý thuyết tập hợp, được hình thức hóa bằng lôgic bậc nhất (first-order logic), là phương pháp toán học nền tảng thường dùng nhất. Ngoài việc sử dụng nó như một hệ thống nền tảng, lý thuyết tập hợp bản thân nó cũng là một nhánh của toán học, với một cộng đồng nghiên cứu tích cực. Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn.

Mục lục

1Lịch sử

1.1Thế kỷ 19

1.220. Jahrhundert

2Khái niệm và ký hiệu cơ bản

2.1Quan hệ giữa các tập hợp

2.1.1Quan hệ bao hàm

2.1.2Quan hệ bằng nhau

2.2Các phép toán trên các tập hợp

3Ghi chú

4Liên kết ngoài

5Đọc thêm

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

📷Georg Cantor

Các chủ đề về toán học thường xuất hiện và phát triển thông qua sự tương tác giữa các nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, lý tuyết tập hợp được tìm thấy năm 1874 bởi Georg Cantor thông qua bài viết: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers".[1][2]

Thế kỷ 19[sửa | sửa mã nguồn]

📷Tập hợp như là một thu góp trong tư tưởng các đối tượng có quan hệ nào đó với nhau.
Cái trống là phần tử của tập hợp
Cuốn sách không phải là phần tử của tập hợp.

Lý thuyết tập hợp được sáng lập bởi Georg Cantor trong những năm 1874 đến năm 1897. Thay cho thuật ngữ "tập hợp", ban đầu ông ta đã sử dụng những từ như "biểu hiện" (inbegriff) hoặc "sự đa dạng" (Mannigfaltigkeit); Về tập hợp và Lý thuyết tập hợp, ông chỉ nói sau đó. Năm 1895, ông đã diễn tả định nghĩa sau:

“Qua một "tập hợp", chúng ta hiểu là bất kỳ một tổng hợp M của một số vật thể m khác nhau được xác định rõ ràng trong quan điểm hoặc suy nghĩ của chúng ta (được gọi là "các phần tử" của M) thành một tổng thể.”

Cantor phân loại các tập hợp, đặc biệt là những tập hợp vô hạn, theo Lực lượng của chúng. Đối với tập hợp hữu hạn, đây là số lượng các phần tử của chúng. Ông gọi hai tập hợp " có lực lượng bằng nhau" khi chúng được ánh xạ song ánh với nhau, tức là khi có một mối quan hệ một-một giữa các phần tử của chúng. Cái được định nghĩa là sự đồng nhất lực lượng là một quan hệ tương đương, và một lực lượng hay số phần tử của một tập hợp M theo Cantor, là lớp tương đương của các tập hợp có lực lượng bằng M. Ông là người đầu tiên quan sát thấy rằng có những lực lựong vô hạn khác nhau. Tập hợp các số tự nhiên, và tất cả các tập hợp có lực lượng bằng nó, được Cantor gọi là 'Tập hợp đếm được, tất cả các tập hợp vô hạn khác được gọi là tập hợp không đếm được.

Các kết quả quan trọng từ Cantor

Tập hợp của số tự nhiên, số hữu tỉ (lập luận chéo đầu tiên của Cantor) và số đại số là đếm được và có lực lượng bằng nhau.

Tập hợp số thực có lực lượng lớn hơn so với các số tự nhiên, đó là không đếm được (luận chéo thứ hai củaCantor).

Tập hợp của tất cả các tập hợp con của một tập hợp M luôn luôn có lực lượng lớn hơn là M , mà còn được gọi là định lý Cantor.

Từ bất kỳ hai tập hợp có ít nhất một tập hợp cùng lực lượng với một tập hợp con của tập hợp kia.

Có rất nhiều lực lượng của tập hợp không đếm được.

Cantor gọi Giả thiết continuum là "có một lực lượng ở giữa tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số thực " Ông đã cố gắng để giải quyết, nhưng không thành công. Sau đó nó bật ra rằng vấn đề này trên nguyên tắc không quyết định được.

Ngoài Cantor, Richard Dedekind là một nhà tiên phong quan trọng của lý thuyết về lý thuyết tập hợp. Ông đã nói về các "hệ thống" thay vì tập hợp và phát triển một cấu trúc lý thuyết tập hợp của các con số thực vào năm 1872[4], một số lượng lý thuyết xây dựng số thực [2] và 1888 nói về tiên đề hóa lý thuyết tập hợp các con số tự nhiên.[5]Ông là người đầu tiên tạo ra công thức tiên đề Axiom of extensionality của lý thuyết tập hợp.

Ngay từ năm 1889, Giuseppe Peano, người đã miêu tả tập hợp là các tầng lớp, đã tạo ra cách tính toán bằng công thức logic các tầng lớp đầu tiên làm cơ sở cho số học của ông với các tiên đề Peano, mà ông đã mô tả lần đầu tiên trong một ngôn ngữ lý thuyết tập hợp chính xác. Do đó ông đã phát triển cơ sở cho ngông ngữ công thức ngày nay của lý thuyết tập hợp và giới thiệu nhiều biểu tượng được phổ biến ngày nay, đặc biệt là ký hiệu phần tử {\displaystyle \in }📷, được đọc là là "phần tử của"[6]. Trong khi đó {\displaystyle \in }📷 là chữ viết thường của ε (epsilon) của từ ἐστί (tiếng Hy Lạp: "là").[7]

Gottlob Frege đã cố gắng đưa ra một lý giải lý thuyết tập hợp khác của lý thuyết về số học vào năm 1893. Bertrand Russell đã phát hiện ra mâu thuẫn của nó vào năm 1902, được biết đến như là Nghịch lý Russell. Sự mâu thuẫn này và các mâu thuẫn khác nảy sinh do sự thiết lập tập hợp không hạn chế, đó là lý do tại sao dạng thức ban đầu của lý thuyết tập hợp sau này được gọi là lý thuyết tập hợp ngây thơ. Tuy nhiên, định nghĩa của Cantor không có ý muốn nói tới một lý thuyết tập hợp ngây thơ như vậy, như chứng minh của ông về loại tất cả là Nichtmenge cho thấy bởi nghịch lý Cantor thứ hai [6].[8]

Học thuyết của Cantor về lý thuyết tập hợp hầu như không được công nhận bởi những người đương thời về vai trò quan trọng của nó, và không được coi là bước tiến cách mạng, mà đã bị một số các nhà toán học như Leopold Kronecker không chấp nhận. Thậm chí nhiều hơn, nó còn bị mang tiếng khi các nghịch lý được biết tới, ví dụ như Henri Poincaré, chế diễu, "Logic không còn hoàn toàn, bây giờ nó tạo ra những mâu thuẫn."

20. Jahrhundert[sửa | sửa mã nguồn]

Trong thế kỷ XX, những ý tưởng của Cantor tiếp tục chiếm ưu thế; đồng thời, trong Logic toán, một lý thuyết Axiomatic Quantum đã được thiết lập, qua đó có thể vượt qua các mâu thuẫn hiện thời.

Năm 1903/1908 Bertrand Russell phát triển Type theory của mình, trong đó tập hợp luôn luôn có một kiểu cao hơn các phần tử của chúng, do đó sự hình thành các tập hợp có vấn đề sẽ không thể xảy ra. Ông chỉ ra cách đầu tiên ra khỏi những mâu thuẫn và cho thấy trong "Principia Mathematica" của 1910-1913 cũng là một phần hiệu quả của Type theory ứng dụng. Cuối cùng, tuy nhiên, nó chứng tỏ là không thích hợp với lý thuyết tập hợp của Cantor và cũng không thể vượt qua được sự phức tạp của nó.

Tiên đề lý thuyết tập hợp được phát triển bởi Ernst Zermelo vào năm 1907 ngược lại dễ sử dụng và thành công hơn, trong đó schema of replacement của ông là cần thiết để bổ sung vào. Zermelo thêm nó vào hệ thống Zermelo-Fraenkel năm 1930, mà ông gọi tắt là hệ thống-ZF. Ông đã thiết kế nó cho Urelement mà không phải là tập hợp, nhưng có thể là phần tử của tập hợp và được xem như cái Cantor gọi là "đối tượng của quan điểm của chúng tôi." Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tuy nhiên, theo ý tưởng Fraenkel là lý thuyết tập hợp thuần túy mà đối tượng hoàn toàn là các tập hợp.

Tuy nhiên, nhiều nhà toán học thay vì theo một tiên đề hợp lý lại chọn một lý thuyết tập hợp thực dụng, tránh tập hợp có vấn đề, chẳng hạn như những áp dụng của Felix Hausdorff1914 hoặc Erich Kamke từ năm 1928. Dần dần các nhà toán học ý thức hơn rằng lý thuyết tập hợp là một cơ bản không thể thiếu cho cấu trúc toán học. Hệ thống ZF chứng minh được trong thực hành, vì vậy ngày nay nó được đa số các nhà toán học công nhận là cơ sở của toán học hiện đại; không còn có mâu thuẫn có thể bắt nguồn từ hệ thống ZF. Tuy nhiên, sự không mâu thuẫn chỉ có thể được chứng minh cho lý thuyết tập hợp với tập hợp hữu hạn, chứ không phải cho toàn bộ hệ thống ZF, mà chứa lý thuyết tập hợp của Cantor với tập hợp vô hạn. Theo Gödel's incompleteness theorems năm 1931 một chứng minh về tính nhất quán về nguyên tắc là không thể được. Những khám phá Gödel chỉ là chương trình của Hilbert để cung cấp toán học và lý thuyết tập hợp vào một cơ sở tiên đề không mâu thuẫn được chứng minh, một giới hạn, nhưng không cản trở sự thành công của lý thuyết trong bất kỳ cách nào, vì vậy mà một khủng hoảng nền tảng của toán học, mà những người ủng hộ của Intuitionismus, trong thực tế không được cảm thấy.

Tuy nhiên, sự công nhận cuối cùng của lý thuyết tập hợp ZF trong thực tế trì hoãn trong một thời gian dài. Nhóm toán học với bút danh Nicolas Bourbaki đã đóng góp đáng kể cho sự công nhận này; họ muốn mô tả mới toán học đồng nhất dựa trên lý thuyết tập hợp và biến đổi nó vào năm 1939 tại các lãnh vực toán học chính thành công. Trong những năm 1960, nó trở nên phổ biến rộng rãi rằng, lý thuyết tập hợp ZF thích hợp là cơ sở cho toán học. Đã có một khoảng thời gian tạm thời trong đó lý thuyết số lượng đã được dạy ở tiểu học.

Song song với câu chuyện thành công của thuyết tập hợp, tuy nhiên, việc thảo luận về các tiên đề tập hợp vẫn còn lưu hành trong thế giới chuyên nghiệp. Nó cũng hình thành những lý thuyết tập hợp tiên đề thay thế khoảng năm 1937 mà không hướng theo Cantor và Zermelo-Fraenkel, nhưng dựa trên Lý thuyết kiểu (Type Theory) của Willard Van Orman Quine từ New Foundations (NF) của ông ta, năm 1940 lý thuyết tập hợp Neumann-Bernays-Godel, mà khái quát hóa ZF về các lớp (Class (set theory)), hay năm 1955, lý thuyết tập hợp Ackermann, khai triển mới định nghĩa tập hợp của Cantor.

Khái niệm và ký hiệu cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết tập hợp bắt đầu với một quan hệ nhị phân cơ bản giữa một phần tử o và một tập hợp A. Nếu o là một thành viên (hoặc phần tử) của A, ký hiệu o ∈ A được sử dụng. Khi đó ta cũng nói rằng phần tử a thuộc tập hợp A. Vì các tập cũng là các đối tượng, quan hệ phần tử cũng có thể liên quan đến các tập.

Quan hệ giữa các tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Quan hệ bao hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu tất cả các thành viên của tập A cũng là thành viên của tập B , thì A là một Tập hợp con của B , được biểu thị {\displaystyle A\subseteq B}📷, và tập hợp B bao hàm tập hợp A. Ví dụ, {1, 2} là một tập hợp con của {1, 2, 3}, và {2} cũng vậy, nhưng { 1, 4} thì không.

Quan hệ bằng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của tập A.

Chú ý rằng 1 và 2 và 3 là các thành viên của tập {1, 2, 3}, nhưng không phải là tập con, và các tập con, chẳng hạn như {1}, không phải là thành viên của tập {1, 2, 3}.

Các phép toán trên các tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A {\displaystyle \cup }📷 B

Ta có A {\displaystyle \cup }📷 B = {x: x {\displaystyle \in }📷 A hoặc x {\displaystyle \in }📷 B}, hợp của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập {1, 2, 3, 4}.

Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A {\displaystyle \cap }📷 B

Ta có A {\displaystyle \cap }📷 B = {x: x {\displaystyle \in }📷 A và x {\displaystyle \in }📷 B}, giao của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập { 2, 3}.

Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu {\displaystyle A\setminus B}📷

Ta có: A \ B = {x: x {\displaystyle \in }📷 A và x {\displaystyle \notin }📷 B}Lưu ý, A \ B {\displaystyle \neq }📷 B \ A

Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A{\displaystyle \subset }📷B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)

     Một người đang có nhiều vấn đề thắc mắc. Để giải quyết, anh ta quyết định đi tìm thần tiên. Qua bao gian khổ, người đó đã tìm đến 3 người, anh ta biết 3 người này có thể là thần tiên, cũng có thể là yêu quái, nhưng anh ta cũng biết rằng thần tiên sẽ luôn nói thật, còn yêu quái luôn nói đối.

       A nói với anh ta: "Giữa B và C, ít nhất có một người là thần tiên", B nói với anh ta: "Giữa A và C, ít nhất có một người là yêu quái", C nói với anh ta: "Hay là để cho tôi nói cho anh biết sự thật nhé".

        Theo đó, người này có thể xác định được trong 3 người có mấy người là thần tiên không?

      Ai trả lời đầu tiên và đúng, tớ tích

*Isaac Newton Jr.

Isaac Newton Jr. là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất.[2] Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727.

Luận thuyết của ông về Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên) xuất bản năm 1687, đã mô tả về vạn vật hấp dẫn và 3 định luật Newton, được coi là nền tảng của cơ học cổ điển, đã thống trị các quan niệm về vật lý, khoa học trong suốt 3 thế kỷ tiếp theo. ông cho rằng sự chuyển động của các vật thể trên mặt đất và các vật thể trong bầu trời bị chi phối bởi các định luật tự nhiên giống nhau; bằng cách chỉ ra sự thống nhất giữa Định luật Kepler về sự chuyển động của hành tinh và lý thuyết của ông về trọng lực, ông đã loại bỏ hoàn toàn Thuyết nhật tâm và theo đuổi cách mạng khoa học.

Trong cơ học, Newton đưa ra nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo toàn quán tính). Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắcánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu.

Trong toán học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân. Ông cũng đưa ra nhị thức Newton tổng quát.

Năm 2005, trong một cuộc thăm dò ý kiến của Hội Hoàng gia về nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học, Newton vẫn là người được cho rằng có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein.[3]

Sự nghiệp

📷Newton năm 1702, vẽ bởi Godfrey Kneller

Isaac Newton sinh ra trong một gia đình nông dân. Khi ông ở quãng tuổi từ khoảng 12 đến 17, ông học tại King's School, Grantham, nơi mà ông chỉ học tiếng Latinh và không có Toán. Sau đó, ông rời khỏi trường và đến tháng 10 năm 1659, ông có mặt tại Woolsthorpe-by-Colsterworth, nơi mà mẹ ông, lần thứ hai góa bụa, đang cố gắng khiến ông trở thành một nông dân. Nhưng Newton lại ghét việc đồng áng. Henry Stocks, thầy của ông tại King's School, đã thuyết phục mẹ ông cho ông quay trở lại trường học để ông có thể tiếp tục việc học của mình.

Vào tháng 6 năm 1661, Newton được gửi tới Đại học Cambridge để trở thành luật sư. Tại Cambridge, Newton bị ấn tượng mạnh từ trường phái Euclid, tuy rằng tư duy của ông cũng bị ảnh hưởng bởi trường phái của Roger Bacon và René Descartes. Một đợt dịch bệnh đã khiến trường Cambridge đóng cửa và trong thời gian ở nhà, Newton đã có những phát kiến khoa học quan trọng, dù chúng không được công bố ngay.

Những người có ảnh hưởng đến việc công bố các công trình của Newton là Robert Hooke và Edmond Halley. Sau một cuộc tranh luận về chủ đề quỹ đạo của một hạt khi bay từ vũ trụ vào Trái Đất với Hooke, Newton đã bị cuốn hút vào việc sử dụng định luật vạn vật hấp dẫn và cơ học của ông trong tính toán quỹ đạo Johannes Kepler. Những kết quả này hấp dẫn Halley và ông đã thuyết phục được Newton xuất bản chúng. Từ tháng 8 năm 1684 đến mùa xuân năm 1688, Newton hoàn thành tác phẩm, mà sau này trở thành một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại, cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Trong quyển I của tác phẩm này, Newton giới thiệu các định nghĩa và ba định luật của chuyển động thường được biết với tên gọi sau này là Định luật Newton. Quyển II trình bày các phương pháp luận khoa học mới của Newton thay thế cho triết lý Descartes. Quyển cuối cùng là các ứng dụng của lý thuyết động lực học của ông, trong đó có sự giải thích về thủy triều và lý thuyết về sự chuyển động của Mặt Trăng. Để kiểm chứng lý thuyết về vạn vật hấp dẫn của ông, Newton đã hỏi nhà thiên văn John Flamsteedkiểm tra xem Sao Thổ có chuyển động chậm lại mỗi lần đi gần Sao Mộc không. Flamsteed đã rất sửng sốt nhận ra hiệu ứng này có thật và đo đạc phù hợp với các tính toán của Newton. Các phương trình của Newton được củng cố thêm bằng kết quả quan sát về hình dạng bẹt của Trái Đất tại hai cực, thay vì lồi ra tại hai cực như đã tiên đoán bởi trường phái Descartes. Phương trình của Newton cũng miêu tả được gần đúng chuyển động Mặt Trăng, và tiên đoán chính xác thời điểm quay lại của sao chổi Halley. Trong các tính toán về hình dạng của một vật ít gây lực cản nhất khi nằm trong dòng chảy của chất lỏng hay chất khí, Newton cũng đã viết ra và giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên của thế giới.

Newton sáng tạo ra một phương pháp khoa học rất tổng quát. Ông trình bày phương pháp luận của ông thành bốn quy tắc của lý luận khoa học. Các quy tắc này được phát biểu trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica như sau:

Các hiện tượng tự nhiên phải được giải thích bằng một hệ tối giản các quy luật đúng, vừa đủ và chặt chẽ.

Các hiện tượng tự nhiên giống nhau phải có cùng nguyên nhân như nhau.

Các tính chất của vật chất là như nhau trong toàn vũ trụ.

Một nhận định rút ra từ quan sát tự nhiên chỉ được coi là đúng cho đến khi có một thực nghiệm khác mâu thuẫn với nó.

Bốn quy tắc súc tích và tổng quát cho nghiên cứu khoa học này đã là một cuộc cách mạng về tư duy thực sự vào thời điểm bấy giờ. Thực hiện các quy tắc này, Newton đã hình thành được các định luật tổng quát của tự nhiên và giải thích được gần như tất cả các bài toán khoa học vào thời của ông. Newton còn đi xa hơn việc chỉ đưa ra các quy tắc cho lý luận, ông đã miêu tả cách áp dụng chúng trong việc giải quyết một bài toán cụ thể. Phương pháp giải tích mà ông sáng tạo vượt trội các phương pháp mang tính triết lý hơn là tính chính xác khoa học của Aristoteles và Thomas Aquinas. Newton đã hoàn thiện phương pháp thực nghiệm của Galileo Galilei, tạo ra phương pháp tổng hợp vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay trong khoa học. Những câu chữ sau đây trong quyển Opticks(Quang học) của ông có thể dễ dàng bị nhầm lẫn với trình bày hiện đại của phương pháp nghiên cứu thời nay, nếu Newton dùng từ "khoa học" thay cho "triết lý về tự nhiên":

Cũng như trong toán học, trong triết lý về tự nhiên, việc nghiên cứu các vấn đề hóc búa cần thực hiện bằng phương pháp phân tích và tổng hợp. Nó bao gồm làm thí nghiệm, quan sát, đưa ra những kết luận tổng quát, từ đó suy diễn. Phương pháp này sẽ giúp ta đi từ các hợp chất phức tạp đến nguyên tố, đi từ chuyển động đến các lực tạo ra nó; và tổng quát là từ các hiện tượng đến nguyên nhân, từ nguyên nhân riêng lẻ đến nguyên nhân tổng quát, cho đến khi lý luận dừng lại ở mức tổng quát nhất. Tổng hợp lại các nguyên nhân chúng ta đã khám phá ra thành các nguyên lý, chúng ta có thể sử dụng chúng để giải thích các hiện tượng hệ quả.

Newton đã xây dựng lý thuyết cơ học và quang học cổ điển và sáng tạo ra giải tích nhiều năm trước Gottfried Leibniz. Tuy nhiên ông đã không công bố công trình về giải tích trước Leibniz. Điều này đã gây nên một cuộc tranh cãi giữa Anh và lục địa châu Âu suốt nhiều thập kỷ về việc ai đã sáng tạo ra giải tích trước. Newton đã phát hiện ra định lý nhị thức đúng cho các tích của phân số, nhưng ông đã để cho John Wallis công bố. Newton đã tìm ra một công thức cho vận tốc âm thanh, nhưng không phù hợp với kết quả thí nghiệm của ông. Lý do cho sự sai lệch này nằm ở sự giãn nở đoạn nhiệt, một khái niệm chưa được biết đến thời bấy giờ. Kết quả của Newton thấp hơn γ½ lần thực tế, với γ là tỷ lệ các nhiệt dung của không khí.

Theo quyển Opticks, mà Newton đã chần chừ trong việc xuất bản mãi cho đến khi Hooke mất, Newton đã quan sát thấy ánh sáng trắng bị chia thành phổ nhiều màu sắc, khi đi qua lăng kính (thuỷ tinh của lăng kính có chiết suất thay đổi tùy màu). Quan điểm hạt về ánh sáng của Newton đã xuất phát từ các thí nghiệm mà ông đã làm với lăng kính ở Cambridge. Ông thấy các ảnh sau lăng kính có hình bầu dục chứ không tròn như lý thuyết ánh sáng thời bấy giờ tiên đoán. Ông cũng đã lần đầu tiên quan sát thấy các vòng giao thoa mà ngày nay gọi là vòng Newton, một bằng chứng của tính chất sóng của ánh sáng mà Newton đã không công nhận. Newton đã cho rằng ánh sáng đi nhanh hơn trong thuỷ tinh, một kết luận trái với lý thuyết sóng ánh sáng của Christiaan Huygens.

Newton cũng xây dựng một hệ thống hoá học trong mục 31 cuối quyển Opticks. Đây cũng là lý thuyết hạt, các "nguyên tố" được coi như các sự sắp xếp khác nhau của những nguyên tử nhỏ và cứng như các quả bi-a. Ông giải thích phản ứng hoá học dựa vào ái lực giữa các thành phần tham gia phản ứng. Cuối đời (sau 1678) ông thực hiện rất nhiều các thí nghiệm hoá học vô cơ mà không ra kết quả gì.

Newton rất nhạy cảm với các phản bác đối với các lý thuyết của ông, thậm chí đến mức không xuất bản các công trình cho đến tận sau khi người hay phản bác ông nhất là Hooke mất. Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica phải chờ sự thuyết phục của Halley mới ra đời. Ông tỏ ra ngày càng lập dị vào cuối đời khi thực hiện các phản ứng hoá học và cùng lúc xác định ngày tháng cho các sự kiện trong Kinh Thánh. Sau khi Newton qua đời, người ta tìm thấy một lượng lớn thuỷ ngân trong cơ thể của ông, có thể bị nhiễm trong lúc làm thí nghiệm. Điều này hoàn toàn có thể giải thích sự lập dị của Newton.

Newton đã một mình đóng góp cho khoa học nhiều hơn bất cứ một nhân vật nào trong lịch sử của loài người. Ông đã vượt trên tất cả những bộ óc khoa học lớn của thế giới cổ đại, tạo nên một miêu tả cho vũ trụ không tự mâu thuẫn, đẹp và phù hợp với trực giác hơn mọi lý thuyết có trước. Newton đưa ra cụ thể các nguyên lý của phương pháp khoa học có thể ứng dụng tổng quát vào mọi lĩnh vực của khoa học. Đây là điều tương phản lớn so với các phương pháp riêng biệt cho mỗi lĩnh vực của Aristoteles và Aquinas trước đó.

Ngoài việc nghiên cứu khoa học, Newton dùng phần lớn thời gian để nghiên cứu Kinh Thánh, ông tin nhận một Chúa Trời duy nhất là Đấng tạo hóa siêu việt mà người ta không thể phủ nhận sự hiện hữu của ngài khi nhìn ngắm vẻ hùng vĩ của mọi tạo vật.[4][5] Mặc dù được trưởng dưỡng trong một gia đình Anh giáo nhưng vào độ tuổi ba mươi của mình, niềm tin Kitô giáo của Newton nếu công khai ra sẽ không được coi là chính thống.[6]

Cũng có các nhà triết học trước như Galileo và John Philoponus sử dụng phương pháp thực nghiệm, nhưng Newton là người đầu tiên định nghĩa cụ thể và hệ thống cách sử dụng phương pháp này. Phương pháp của ông cân bằng giữa lý thuyết và thực nghiệm, giữa toán học và cơ học. Ông toán học hoá mọi khoa học về tự nhiên, đơn giản hoá chúng thành các bước chặt chẽ, tổng quát và hợp lý, tạo nên sự bắt đầu của Kỷ nguyên Suy luận. Những nguyên lý mà Newton đưa ra do đó vẫn giữ nguyên giá trị cho đến thời đại ngày nay. Sau khi ông ra đi, những phương pháp của ông đã mang lại những thành tựu khoa học lớn gấp bội những gì mà ông có thể tưởng tượng lúc sinh thời. Các thành quả này là nền tảng cho nền công nghệ mà chúng ta được hưởng ngày nay.

Không ngoa dụ chút nào khi nói rằng Newton là danh nhân quan trọng nhất đóng góp cho sự phát triển của khoa học hiện đại. Như nhà thơ Alexander Pope đã viết:

Nature and nature's laws lay hid in night;God said "Let Newton be" and all was light.Tự nhiên và luật tự nhiên lẩn khuất trong màn đêm phủ;Chúa phán: Newton hãy xuất hiện! Và mọi thứ chói lòa.

Tiểu sử

📷Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica của Newton📷Isaac Newton (Bolton, Sarah K. Famous Men of Science NY: Thomas Y. Crowell & Co., 1889)

Isaac Newton sinh ra tại một ngôi nhà ở Woolsthorpe, gần Grantham ở Lincolnshire, Anh, vào ngày 25 tháng 12 năm 1642 (4 tháng 1 năm 1643 theo lịch mới). Ông chưa một lần nhìn thấy mặt cha, do cha ông, một nông dân cũng tên là Isaac Newton Sr., mất trước khi ông sinh ra không lâu. Sống không hạnh phúc với cha dượng từ nhỏ, Newton bắt đầu những năm học phổ thông trầm uất, xa nhà và bị gián đoạn bởi các biến cố gia đình. May mắn là do không có khả năng điều hành tài chính trong vai anh cả sau khi cha dượng mất, ông tiếp tục được cho học đại học (trường Trinity College Cambridge) sau phổ thông vào năm 1661, sử dụng học bổng của trường với điều kiện phải phục dịch các học sinh đóng học phí.

Mục tiêu ban đầu của Newton tại Đại học Cambridge là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của Aristotle, nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học của Galileo và cả quang học của Kepler. Ông đã viết trong thời gian này: "Plato là bạn của tôi, Aristotle là bạn của tôi, nhưng sự thật mới là người bạn thân thiết nhất của tôi". Tuy nhiên, đa phần kiến thức toán học cao cấp nhất thời bấy giờ, Newton tiếp cận được là nhờ đọc thêm sách, đặc biệt là từ sau năm 1663, gồm các cuốn Elementscủa Euclid, Clavis Mathematica của William Oughtred, La Géométrie của Descartes, Geometria a Renato Des Cartes của Frans van Schooten, Algebra của Wallis và các công trình của François Viète.

Ngay sau khi nhận bằng tốt nghiệp, năm 1630, ông phải trở về nhà 2 năm vì trường đóng cửa do bệnh dịch hạch lan truyền. Hai năm này chứng kiến một loạt các phát triển quan trọng của Newton với phương pháp tính vi phân và tích phân hoàn toàn mới, thống nhất và đơn giản hoá nhiều phương pháp tính khác nhau thời bấy giờ để giải quyết những bài toán có vẻ không liên quan trực tiếp đến nhau như tìm diện tích, tìm tiếp tuyến, độ dài đường cong và cực trị của hàm. Tài năng toán học của ông nhanh chóng được hiệu trưởng của Cambridge nhận ra khi trường mở cửa trở lại. Ông được nhận làm giảng viên của trường năm 1670, sau khi hoàn thành thạc sĩ, và bắt đầu nghiên cứu và giảng về quang học. Ông lần đầu chứng minh ánh sáng trắng thực ra được tạo thành bởi nhiều màu sắc, và đưa ra cải tiến cho kính thiên văn sử dụng gương thay thấu kính để hạn chế sự nhoè ảnh do tán sắc ánh sáng qua thuỷ tinh.

📷Isaac Newton ở tuổi già năm 1712, chân dung của Sir James Thornhill

Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh năm 1672 và bắt đầu vấp phải các phản bác từ Huygens và Hooke về lý thuyết hạt ánh sáng của ông. Lý thuyết về màu sắc ánh sáng của ông cũng bị một tác giả phản bác và cuộc tranh cãi đã dẫn đến suy sụp tinh thần cho Newton vào năm 1678. Năm 1679 Newton và Hooke tham gia vào một cuộc tranh luận mới về quỹ đạo của thiên thể trong trọng trường. Năm 1684, Halley thuyết phục được Newton xuất bản các tính toán sau cuộc tranh luận này trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Quyển sách đã mang lại cho Newton tiếng tăm vượt ra ngoài nước Anh, đến châu Âu.

Năm 1685, chính trị nước Anh thay đổi dưới sự trị vì của James II, và trường Cambridge phải tuân thủ những điều luật phi lý như buộc phải cấp bằng cho giáo chủ không thông qua thi cử. Newton kịch liệt phản đối những can thiệp này và sau khi James bị William III đánh bại, Newton được bầu vào Nghị viện Anh nhờ những đấu tranh chính trị của ông.

Năm 1693, sau nhiều năm làm thí nghiệm hoá học thất bại và sức khoẻ suy sụp nghiêm trọng, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân Đôn. Newton tích cực tham gia hoạt động chính trị và trở nên giàu có nhờ bổng lộc nhà nước. Năm 1703 Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh và giữ chức vụ đó trong suốt phần còn lại của cuộc đời ông. Ông được Nữ hoàng phong bá tước năm 1705. việc ai phát minh ra vi phân và tích phân, Newton và Lepnic không bao giờ tranh luận cả, nhưng các người hâm mộ lại tranh cãi quyết liệt khiến hai nhà khoa học vĩ đại này cảm thấy xấu hổ. Ông mất ngày 31 tháng 3 năm 1727 tại Luân Đôn.

Nghiên cứu khoa học

Quang học

📷Quyển Opticks của Newton📷Minh họa hiện tượng Tán sắc ánh sáng trắng thành nhiều màu khác nhau qua lăng kính, được phát hiện bởi Newton

Từ năm 1670 đến 1672, Newton diễn thuyết về quang học. Trong khoảng thời gian này ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu, và một thấu kính hay một lăng kính sẽ hội tụ các dãy màu thành ánh sáng trắng.

Newton còn cho thấy rằng ánh sáng màu không thay đổi tính chất, bằng việc phân tích các tia màu và chiếu vào các vật khác nhau. Newton chú ý rằng dù là gì đi nữa, phản xạ, tán xạ hay truyền qua, màu sắc vẫn giữ nguyên. Vì thế màu mà ta quan sát là kết quả vật tương tác với các ánh sáng đã có sẵn màu sắc, không phải là kết quả của vật tạo ra màu.

📷Bản sao kính thiên văn phản xạ thứ hai của Newton mà ông đã trình bày cho Hội khoa học Hoàng gia vào năm 1672

Nhờ vào những khám phá trên, Newton nhận ra nguyên nhân gây ra sự sai lệch màu của hình ảnh trên kính viễn vọng khúc xạ thời đó. Ông đã áp dụng nguyên lý của James Gregory để tạo ra kính viễn vọng phản xạ đầu tiên, khắc phục được nhiều nhược điểm về ảnh của kính viễn vọng khúc xạ đồng thời giảm đi đáng kể chiều dài của kính viễn vọng.

Quả táo Newton

📷Bài này là một bản dịch thô từ ngôn ngữ khác. Đây có thể là kết quả của máy tính hoặc của người chưa thông thạo dịch thuật. Xin hãy giúp tăng chất lượng bản dịch.

Sau khi Newton công bố định luật vạn vật hấp dẫn, giới khoa học lưu truyền câu chuyện quả táo rơi trúng đầu Newton liệu có mối liên hệ giữa khối lượng và khoảng cách của vật thể trong nhà vật lý vĩ đại này. Thế nhưng, nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là câu chuyện thêu dệt, chỉ là một huyền thoại và rằng ông đã không xây dựng lý thuyết về lực hấp dẫn ở bất cứ thời điểm duy nhất nào.

Tuy nhiên, với bản thảo viết tay Memoirs of Life Sir Isaac Newton có từ năm 1752, nhà khoa học William Stukeley (một người quen của Newton) kể lại chi tiết về khoảng khắc khi Newton tìm ra thuyết vạn vật hấp dẫn.

Bài viết của Stukeley kể về những suy nghĩ của Newton về thuyết lực hấp dẫn khi hai người ngồi dưới bóng râm cây táo trong vườn của nhà khoa học, tại Kensington vào ngày 15 tháng 4 năm 1726: [7]

Chúng tôi đã đi vào một khu vườn, và uống trà dưới bóng mát của vườn táo; chỉ có ông, và tôi. Ông nói với tôi, chính ở vị trí này, vào thuở trước khái niệm về lực hấp dẫn đã đến trong tâm trí.Thời điểm đó ông đang ngồi chiêm nghiệm và một quả táo rơi xuống. Ông đã nghĩ tại sao quả táo lại rơi thẳng xuống đất?

Quả táo chín rồi, tại sao lại rơi xuống đất? Tại vì gió thổi chăng? Không phải, khoảng không rộng mênh mông, tại sao lại phải rơi xuống mà không bay lên trời? Như vậy trái đất có cái gì hút nó sao? Mọi vật trên trái đất đều có sức nặng, hòn đã ném đi rốt cuộc lại rơi xuống đất, trọng lượng của mọi vật có phải là kết quả của lực hút trái đất không?

Tại sao nó không đi ngang, hoặc đi lên ? Nhưng lại liên tục đến trung tâm trái đất ? Chắc chắn, không lý nào khác rằng trái đất đã hút nó. Phải có một sức mạnh hút kéo vật chất & tổng sức mạnh hút kéo trong vấn đề trái đất phải được ở trung tâm đất, không phải trong bất kỳ bên của trái đất do đó đó quả táo này có rơi vuông góc, hay hướng về trung tâm nếu có vấn đề do đó hút lấy vật chất.. nó phải được cân đối với lượng của nó do đó táo rút ra trái đất., cũng như trái đất thu hút sự táo.

John Conduitt, trợ lý của Newton tại Royal Mint và chồng của cô cháu gái của Newton, cũng mô tả các sự kiện khi ông đã viết về cuộc sống của Newton:

Vào năm 1666, ông nghỉ hưu từ Cambridge với mẹ ông ở Lincolnshire. Trong khi đang lang thang trầm tư trong vườn, thì đến hiện ý tưởng rằng sức mạnh của lực hấp dẫn (đã mang quả táo từ trên cây rơi xuống đất) không bị giới hạn trong một khoảng cách nhất định từ trái đất, nhưng sức mạnh này phải trải rộng ra xa hơn là thường nghĩ. Tại sao không cao như mặt trăng nói ông đến mình, và nếu như vậy, mà phải ảnh hưởng đến chuyển động của mặt trăng và có lẽ giữ lại trong quỹ đạo của nó, từ đó ông lao vào tính toán những gì sẽ là kết quả của giả thiết đó.

Trong một việc tương tự, Voltaire đã viết trong cuốn tiểu luận về Epic Thơ (1727), "Sir Isaac Newton đi bộ trong khu vườn của mình, có những suy nghĩ đầu tiên của hệ thống hấp dẫn của ông, khi thấy một quả táo rơi xuống từ một cây."

Newton đã phải vật lộn trong cuối thập kỷ 1660 với ý tưởng rằng lực hấp dẫn tương tác trên mặt đất, trong một tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách; Tuy nhiên ông đã phải mất hai thập kỷ để phát triển các lý thuyết đầy đủ. Câu hỏi đặt ra không phải là liệu trọng lực tồn tại, nhưng liệu nó có mở rộng để cách xa Trái đất mà nó còn có thể là lực giữ mặt trăng trên quỹ đạo của nó. Newton đã chỉ ra rằng nếu lực tương tác giảm tỉ lệ nghịch với khoảng cách, người ta có thể tính toán chu kỳ quỹ đạo của Mặt trăng một cách thống nhất. Ông đoán một loại lực chung là nguyên do của mọi chuyển động quỹ đạo, và do đó đặt tên nó là "lực vạn vật hấp dẫn".

Sau này Newton nêu ra: Mọi vật trên trái đất đều chịu sức hút của trái đất, mặt trăng cũng chịu sức hút của trái đất, đồng thời trái đất cũng chịu sức hút của mặt trăng; Trái đất chịu sức hút của mặt trời, mặt trời đồng thời cũng chịu sức hút của trái đất. Nói một cách khác là vạn vật trong vũ trụ đều có lực hấp dẫn lẫn nhau, vì có loại lực hấp dẫn này mà mặt trăng mới quay quanh trái đất, trái đất mới quay quanh mặt trời.

Tác phẩm

Xuất bản khi sinh thời

De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1669, published 1711)

Method of Fluxions (1671)

Of Natures Obvious Laws & Processes in Vegetation (unpublished, c. 1671–75)[8]

De motu corporum in gyrum (1684)

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

Opticks (1704)

Reports as Master of the Mint (1701–25)

Arithmetica Universalis (1707)

Xuất bản sau khi qua đời

The System of the World (1728)

Optical Lectures (1728)

The Chronology of Ancient Kingdoms Amended (1728)

De mundi systemate (1728)

Observations on Daniel and The Apocalypse of St. John (1733)

Newton, Isaac (1991). Robinson, Arthur B., biên tập. Observations upon the Prophecies of Daniel, and the Apocalypse of St. John. Cave Junction, Oregon: Oregon Institute of Science and Medicine. ISBN 0-942487-02-8. (A facsimile edition of the 1733 work.)

An Historical Account of Two Notable Corruptions of Scripture (1754)

*Isaac Newton Jr.

Isaac Newton Jr. là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất.[2] Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727.

Luận thuyết của ông về Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên) xuất bản năm 1687, đã mô tả về vạn vật hấp dẫn và 3 định luật Newton, được coi là nền tảng của cơ học cổ điển, đã thống trị các quan niệm về vật lý, khoa học trong suốt 3 thế kỷ tiếp theo. ông cho rằng sự chuyển động của các vật thể trên mặt đất và các vật thể trong bầu trời bị chi phối bởi các định luật tự nhiên giống nhau; bằng cách chỉ ra sự thống nhất giữa Định luật Kepler về sự chuyển động của hành tinh và lý thuyết của ông về trọng lực, ông đã loại bỏ hoàn toàn Thuyết nhật tâm và theo đuổi cách mạng khoa học.

Trong cơ học, Newton đưa ra nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo toàn quán tính). Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắcánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu.

Trong toán học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân. Ông cũng đưa ra nhị thức Newton tổng quát.

Năm 2005, trong một cuộc thăm dò ý kiến của Hội Hoàng gia về nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học, Newton vẫn là người được cho rằng có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein.[3]

Sự nghiệp

📷Newton năm 1702, vẽ bởi Godfrey Kneller

Isaac Newton sinh ra trong một gia đình nông dân. Khi ông ở quãng tuổi từ khoảng 12 đến 17, ông học tại King's School, Grantham, nơi mà ông chỉ học tiếng Latinh và không có Toán. Sau đó, ông rời khỏi trường và đến tháng 10 năm 1659, ông có mặt tại Woolsthorpe-by-Colsterworth, nơi mà mẹ ông, lần thứ hai góa bụa, đang cố gắng khiến ông trở thành một nông dân. Nhưng Newton lại ghét việc đồng áng. Henry Stocks, thầy của ông tại King's School, đã thuyết phục mẹ ông cho ông quay trở lại trường học để ông có thể tiếp tục việc học của mình.

Vào tháng 6 năm 1661, Newton được gửi tới Đại học Cambridge để trở thành luật sư. Tại Cambridge, Newton bị ấn tượng mạnh từ trường phái Euclid, tuy rằng tư duy của ông cũng bị ảnh hưởng bởi trường phái của Roger Bacon và René Descartes. Một đợt dịch bệnh đã khiến trường Cambridge đóng cửa và trong thời gian ở nhà, Newton đã có những phát kiến khoa học quan trọng, dù chúng không được công bố ngay.

Những người có ảnh hưởng đến việc công bố các công trình của Newton là Robert Hooke và Edmond Halley. Sau một cuộc tranh luận về chủ đề quỹ đạo của một hạt khi bay từ vũ trụ vào Trái Đất với Hooke, Newton đã bị cuốn hút vào việc sử dụng định luật vạn vật hấp dẫn và cơ học của ông trong tính toán quỹ đạo Johannes Kepler. Những kết quả này hấp dẫn Halley và ông đã thuyết phục được Newton xuất bản chúng. Từ tháng 8 năm 1684 đến mùa xuân năm 1688, Newton hoàn thành tác phẩm, mà sau này trở thành một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại, cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Trong quyển I của tác phẩm này, Newton giới thiệu các định nghĩa và ba định luật của chuyển động thường được biết với tên gọi sau này là Định luật Newton. Quyển II trình bày các phương pháp luận khoa học mới của Newton thay thế cho triết lý Descartes. Quyển cuối cùng là các ứng dụng của lý thuyết động lực học của ông, trong đó có sự giải thích về thủy triều và lý thuyết về sự chuyển động của Mặt Trăng. Để kiểm chứng lý thuyết về vạn vật hấp dẫn của ông, Newton đã hỏi nhà thiên văn John Flamsteedkiểm tra xem Sao Thổ có chuyển động chậm lại mỗi lần đi gần Sao Mộc không. Flamsteed đã rất sửng sốt nhận ra hiệu ứng này có thật và đo đạc phù hợp với các tính toán của Newton. Các phương trình của Newton được củng cố thêm bằng kết quả quan sát về hình dạng bẹt của Trái Đất tại hai cực, thay vì lồi ra tại hai cực như đã tiên đoán bởi trường phái Descartes. Phương trình của Newton cũng miêu tả được gần đúng chuyển động Mặt Trăng, và tiên đoán chính xác thời điểm quay lại của sao chổi Halley. Trong các tính toán về hình dạng của một vật ít gây lực cản nhất khi nằm trong dòng chảy của chất lỏng hay chất khí, Newton cũng đã viết ra và giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên của thế giới.

Newton sáng tạo ra một phương pháp khoa học rất tổng quát. Ông trình bày phương pháp luận của ông thành bốn quy tắc của lý luận khoa học. Các quy tắc này được phát biểu trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica như sau:

Các hiện tượng tự nhiên phải được giải thích bằng một hệ tối giản các quy luật đúng, vừa đủ và chặt chẽ.

Các hiện tượng tự nhiên giống nhau phải có cùng nguyên nhân như nhau.

Các tính chất của vật chất là như nhau trong toàn vũ trụ.

Một nhận định rút ra từ quan sát tự nhiên chỉ được coi là đúng cho đến khi có một thực nghiệm khác mâu thuẫn với nó.

Bốn quy tắc súc tích và tổng quát cho nghiên cứu khoa học này đã là một cuộc cách mạng về tư duy thực sự vào thời điểm bấy giờ. Thực hiện các quy tắc này, Newton đã hình thành được các định luật tổng quát của tự nhiên và giải thích được gần như tất cả các bài toán khoa học vào thời của ông. Newton còn đi xa hơn việc chỉ đưa ra các quy tắc cho lý luận, ông đã miêu tả cách áp dụng chúng trong việc giải quyết một bài toán cụ thể. Phương pháp giải tích mà ông sáng tạo vượt trội các phương pháp mang tính triết lý hơn là tính chính xác khoa học của Aristoteles và Thomas Aquinas. Newton đã hoàn thiện phương pháp thực nghiệm của Galileo Galilei, tạo ra phương pháp tổng hợp vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay trong khoa học. Những câu chữ sau đây trong quyển Opticks(Quang học) của ông có thể dễ dàng bị nhầm lẫn với trình bày hiện đại của phương pháp nghiên cứu thời nay, nếu Newton dùng từ "khoa học" thay cho "triết lý về tự nhiên":

Cũng như trong toán học, trong triết lý về tự nhiên, việc nghiên cứu các vấn đề hóc búa cần thực hiện bằng phương pháp phân tích và tổng hợp. Nó bao gồm làm thí nghiệm, quan sát, đưa ra những kết luận tổng quát, từ đó suy diễn. Phương pháp này sẽ giúp ta đi từ các hợp chất phức tạp đến nguyên tố, đi từ chuyển động đến các lực tạo ra nó; và tổng quát là từ các hiện tượng đến nguyên nhân, từ nguyên nhân riêng lẻ đến nguyên nhân tổng quát, cho đến khi lý luận dừng lại ở mức tổng quát nhất. Tổng hợp lại các nguyên nhân chúng ta đã khám phá ra thành các nguyên lý, chúng ta có thể sử dụng chúng để giải thích các hiện tượng hệ quả.

Newton đã xây dựng lý thuyết cơ học và quang học cổ điển và sáng tạo ra giải tích nhiều năm trước Gottfried Leibniz. Tuy nhiên ông đã không công bố công trình về giải tích trước Leibniz. Điều này đã gây nên một cuộc tranh cãi giữa Anh và lục địa châu Âu suốt nhiều thập kỷ về việc ai đã sáng tạo ra giải tích trước. Newton đã phát hiện ra định lý nhị thức đúng cho các tích của phân số, nhưng ông đã để cho John Wallis công bố. Newton đã tìm ra một công thức cho vận tốc âm thanh, nhưng không phù hợp với kết quả thí nghiệm của ông. Lý do cho sự sai lệch này nằm ở sự giãn nở đoạn nhiệt, một khái niệm chưa được biết đến thời bấy giờ. Kết quả của Newton thấp hơn γ½ lần thực tế, với γ là tỷ lệ các nhiệt dung của không khí.

Theo quyển Opticks, mà Newton đã chần chừ trong việc xuất bản mãi cho đến khi Hooke mất, Newton đã quan sát thấy ánh sáng trắng bị chia thành phổ nhiều màu sắc, khi đi qua lăng kính (thuỷ tinh của lăng kính có chiết suất thay đổi tùy màu). Quan điểm hạt về ánh sáng của Newton đã xuất phát từ các thí nghiệm mà ông đã làm với lăng kính ở Cambridge. Ông thấy các ảnh sau lăng kính có hình bầu dục chứ không tròn như lý thuyết ánh sáng thời bấy giờ tiên đoán. Ông cũng đã lần đầu tiên quan sát thấy các vòng giao thoa mà ngày nay gọi là vòng Newton, một bằng chứng của tính chất sóng của ánh sáng mà Newton đã không công nhận. Newton đã cho rằng ánh sáng đi nhanh hơn trong thuỷ tinh, một kết luận trái với lý thuyết sóng ánh sáng của Christiaan Huygens.

Newton cũng xây dựng một hệ thống hoá học trong mục 31 cuối quyển Opticks. Đây cũng là lý thuyết hạt, các "nguyên tố" được coi như các sự sắp xếp khác nhau của những nguyên tử nhỏ và cứng như các quả bi-a. Ông giải thích phản ứng hoá học dựa vào ái lực giữa các thành phần tham gia phản ứng. Cuối đời (sau 1678) ông thực hiện rất nhiều các thí nghiệm hoá học vô cơ mà không ra kết quả gì.

Newton rất nhạy cảm với các phản bác đối với các lý thuyết của ông, thậm chí đến mức không xuất bản các công trình cho đến tận sau khi người hay phản bác ông nhất là Hooke mất. Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica phải chờ sự thuyết phục của Halley mới ra đời. Ông tỏ ra ngày càng lập dị vào cuối đời khi thực hiện các phản ứng hoá học và cùng lúc xác định ngày tháng cho các sự kiện trong Kinh Thánh. Sau khi Newton qua đời, người ta tìm thấy một lượng lớn thuỷ ngân trong cơ thể của ông, có thể bị nhiễm trong lúc làm thí nghiệm. Điều này hoàn toàn có thể giải thích sự lập dị của Newton.

Newton đã một mình đóng góp cho khoa học nhiều hơn bất cứ một nhân vật nào trong lịch sử của loài người. Ông đã vượt trên tất cả những bộ óc khoa học lớn của thế giới cổ đại, tạo nên một miêu tả cho vũ trụ không tự mâu thuẫn, đẹp và phù hợp với trực giác hơn mọi lý thuyết có trước. Newton đưa ra cụ thể các nguyên lý của phương pháp khoa học có thể ứng dụng tổng quát vào mọi lĩnh vực của khoa học. Đây là điều tương phản lớn so với các phương pháp riêng biệt cho mỗi lĩnh vực của Aristoteles và Aquinas trước đó.

Ngoài việc nghiên cứu khoa học, Newton dùng phần lớn thời gian để nghiên cứu Kinh Thánh, ông tin nhận một Chúa Trời duy nhất là Đấng tạo hóa siêu việt mà người ta không thể phủ nhận sự hiện hữu của ngài khi nhìn ngắm vẻ hùng vĩ của mọi tạo vật.[4][5] Mặc dù được trưởng dưỡng trong một gia đình Anh giáo nhưng vào độ tuổi ba mươi của mình, niềm tin Kitô giáo của Newton nếu công khai ra sẽ không được coi là chính thống.[6]

Cũng có các nhà triết học trước như Galileo và John Philoponus sử dụng phương pháp thực nghiệm, nhưng Newton là người đầu tiên định nghĩa cụ thể và hệ thống cách sử dụng phương pháp này. Phương pháp của ông cân bằng giữa lý thuyết và thực nghiệm, giữa toán học và cơ học. Ông toán học hoá mọi khoa học về tự nhiên, đơn giản hoá chúng thành các bước chặt chẽ, tổng quát và hợp lý, tạo nên sự bắt đầu của Kỷ nguyên Suy luận. Những nguyên lý mà Newton đưa ra do đó vẫn giữ nguyên giá trị cho đến thời đại ngày nay. Sau khi ông ra đi, những phương pháp của ông đã mang lại những thành tựu khoa học lớn gấp bội những gì mà ông có thể tưởng tượng lúc sinh thời. Các thành quả này là nền tảng cho nền công nghệ mà chúng ta được hưởng ngày nay.

Không ngoa dụ chút nào khi nói rằng Newton là danh nhân quan trọng nhất đóng góp cho sự phát triển của khoa học hiện đại. Như nhà thơ Alexander Pope đã viết:

Nature and nature's laws lay hid in night;God said "Let Newton be" and all was light.Tự nhiên và luật tự nhiên lẩn khuất trong màn đêm phủ;Chúa phán: Newton hãy xuất hiện! Và mọi thứ chói lòa.

Tiểu sử

📷Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica của Newton📷Isaac Newton (Bolton, Sarah K. Famous Men of Science NY: Thomas Y. Crowell & Co., 1889)

Isaac Newton sinh ra tại một ngôi nhà ở Woolsthorpe, gần Grantham ở Lincolnshire, Anh, vào ngày 25 tháng 12 năm 1642 (4 tháng 1 năm 1643 theo lịch mới). Ông chưa một lần nhìn thấy mặt cha, do cha ông, một nông dân cũng tên là Isaac Newton Sr., mất trước khi ông sinh ra không lâu. Sống không hạnh phúc với cha dượng từ nhỏ, Newton bắt đầu những năm học phổ thông trầm uất, xa nhà và bị gián đoạn bởi các biến cố gia đình. May mắn là do không có khả năng điều hành tài chính trong vai anh cả sau khi cha dượng mất, ông tiếp tục được cho học đại học (trường Trinity College Cambridge) sau phổ thông vào năm 1661, sử dụng học bổng của trường với điều kiện phải phục dịch các học sinh đóng học phí.

Mục tiêu ban đầu của Newton tại Đại học Cambridge là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của Aristotle, nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học của Galileo và cả quang học của Kepler. Ông đã viết trong thời gian này: "Plato là bạn của tôi, Aristotle là bạn của tôi, nhưng sự thật mới là người bạn thân thiết nhất của tôi". Tuy nhiên, đa phần kiến thức toán học cao cấp nhất thời bấy giờ, Newton tiếp cận được là nhờ đọc thêm sách, đặc biệt là từ sau năm 1663, gồm các cuốn Elements của Euclid, Clavis Mathematica của William Oughtred, La Géométrie của Descartes, Geometria a Renato Des Cartes của Frans van Schooten, Algebra của Wallis và các công trình của François Viète.

Ngay sau khi nhận bằng tốt nghiệp, năm 1630, ông phải trở về nhà 2 năm vì trường đóng cửa do bệnh dịch hạch lan truyền. Hai năm này chứng kiến một loạt các phát triển quan trọng của Newton với phương pháp tính vi phân và tích phân hoàn toàn mới, thống nhất và đơn giản hoá nhiều phương pháp tính khác nhau thời bấy giờ để giải quyết những bài toán có vẻ không liên quan trực tiếp đến nhau như tìm diện tích, tìm tiếp tuyến, độ dài đường cong và cực trị của hàm. Tài năng toán học của ông nhanh chóng được hiệu trưởng của Cambridge nhận ra khi trường mở cửa trở lại. Ông được nhận làm giảng viên của trường năm 1670, sau khi hoàn thành thạc sĩ, và bắt đầu nghiên cứu và giảng về quang học. Ông lần đầu chứng minh ánh sáng trắng thực ra được tạo thành bởi nhiều màu sắc, và đưa ra cải tiến cho kính thiên văn sử dụng gương thay thấu kính để hạn chế sự nhoè ảnh do tán sắc ánh sáng qua thuỷ tinh.

📷Isaac Newton ở tuổi già năm 1712, chân dung của Sir James Thornhill

Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh năm 1672 và bắt đầu vấp phải các phản bác từ Huygens và Hooke về lý thuyết hạt ánh sáng của ông. Lý thuyết về màu sắc ánh sáng của ông cũng bị một tác giả phản bác và cuộc tranh cãi đã dẫn đến suy sụp tinh thần cho Newton vào năm 1678. Năm 1679 Newton và Hooke tham gia vào một cuộc tranh luận mới về quỹ đạo của thiên thể trong trọng trường. Năm 1684, Halley thuyết phục được Newton xuất bản các tính toán sau cuộc tranh luận này trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Quyển sách đã mang lại cho Newton tiếng tăm vượt ra ngoài nước Anh, đến châu Âu.

Năm 1685, chính trị nước Anh thay đổi dưới sự trị vì của James II, và trường Cambridge phải tuân thủ những điều luật phi lý như buộc phải cấp bằng cho giáo chủ không thông qua thi cử. Newton kịch liệt phản đối những can thiệp này và sau khi James bị William III đánh bại, Newton được bầu vào Nghị viện Anh nhờ những đấu tranh chính trị của ông.

Năm 1693, sau nhiều năm làm thí nghiệm hoá học thất bại và sức khoẻ suy sụp nghiêm trọng, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân Đôn. Newton tích cực tham gia hoạt động chính trị và trở nên giàu có nhờ bổng lộc nhà nước. Năm 1703 Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh và giữ chức vụ đó trong suốt phần còn lại của cuộc đời ông. Ông được Nữ hoàng phong bá tước năm 1705. việc ai phát minh ra vi phân và tích phân, Newton và Lepnic không bao giờ tranh luận cả, nhưng các người hâm mộ lại tranh cãi quyết liệt khiến hai nhà khoa học vĩ đại này cảm thấy xấu hổ. Ông mất ngày 31 tháng 3 năm 1727 tại Luân Đôn.

Nghiên cứu khoa học

Quang học

📷Quyển Opticks của Newton📷Minh họa hiện tượng Tán sắc ánh sáng trắng thành nhiều màu khác nhau qua lăng kính, được phát hiện bởi Newton

Từ năm 1670 đến 1672, Newton diễn thuyết về quang học. Trong khoảng thời gian này ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu, và một thấu kính hay một lăng kính sẽ hội tụ các dãy màu thành ánh sáng trắng.

Newton còn cho thấy rằng ánh sáng màu không thay đổi tính chất, bằng việc phân tích các tia màu và chiếu vào các vật khác nhau. Newton chú ý rằng dù là gì đi nữa, phản xạ, tán xạ hay truyền qua, màu sắc vẫn giữ nguyên. Vì thế màu mà ta quan sát là kết quả vật tương tác với các ánh sáng đã có sẵn màu sắc, không phải là kết quả của vật tạo ra màu.

📷Bản sao kính thiên văn phản xạ thứ hai của Newton mà ông đã trình bày cho Hội khoa học Hoàng gia vào năm 1672

Nhờ vào những khám phá trên, Newton nhận ra nguyên nhân gây ra sự sai lệch màu của hình ảnh trên kính viễn vọng khúc xạ thời đó. Ông đã áp dụng nguyên lý của James Gregory để tạo ra kính viễn vọng phản xạ đầu tiên, khắc phục được nhiều nhược điểm về ảnh của kính viễn vọng khúc xạ đồng thời giảm đi đáng kể chiều dài của kính viễn vọng.

Quả táo Newton

📷Bài này là một bản dịch thô từ ngôn ngữ khác. Đây có thể là kết quả của máy tính hoặc của người chưa thông thạo dịch thuật. Xin hãy giúp tăng chất lượng bản dịch.

Sau khi Newton công bố định luật vạn vật hấp dẫn, giới khoa học lưu truyền câu chuyện quả táo rơi trúng đầu Newton liệu có mối liên hệ giữa khối lượng và khoảng cách của vật thể trong nhà vật lý vĩ đại này. Thế nhưng, nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là câu chuyện thêu dệt, chỉ là một huyền thoại và rằng ông đã không xây dựng lý thuyết về lực hấp dẫn ở bất cứ thời điểm duy nhất nào.

Tuy nhiên, với bản thảo viết tay Memoirs of Life Sir Isaac Newton có từ năm 1752, nhà khoa học William Stukeley (một người quen của Newton) kể lại chi tiết về khoảng khắc khi Newton tìm ra thuyết vạn vật hấp dẫn.

Bài viết của Stukeley kể về những suy nghĩ của Newton về thuyết lực hấp dẫn khi hai người ngồi dưới bóng râm cây táo trong vườn của nhà khoa học, tại Kensington vào ngày 15 tháng 4 năm 1726: [7]

Chúng tôi đã đi vào một khu vườn, và uống trà dưới bóng mát của vườn táo; chỉ có ông, và tôi. Ông nói với tôi, chính ở vị trí này, vào thuở trước khái niệm về lực hấp dẫn đã đến trong tâm trí.Thời điểm đó ông đang ngồi chiêm nghiệm và một quả táo rơi xuống. Ông đã nghĩ tại sao quả táo lại rơi thẳng xuống đất?

Quả táo chín rồi, tại sao lại rơi xuống đất? Tại vì gió thổi chăng? Không phải, khoảng không rộng mênh mông, tại sao lại phải rơi xuống mà không bay lên trời? Như vậy trái đất có cái gì hút nó sao? Mọi vật trên trái đất đều có sức nặng, hòn đã ném đi rốt cuộc lại rơi xuống đất, trọng lượng của mọi vật có phải là kết quả của lực hút trái đất không?

Tại sao nó không đi ngang, hoặc đi lên ? Nhưng lại liên tục đến trung tâm trái đất ? Chắc chắn, không lý nào khác rằng trái đất đã hút nó. Phải có một sức mạnh hút kéo vật chất & tổng sức mạnh hút kéo trong vấn đề trái đất phải được ở trung tâm đất, không phải trong bất kỳ bên của trái đất do đó đó quả táo này có rơi vuông góc, hay hướng về trung tâm nếu có vấn đề do đó hút lấy vật chất.. nó phải được cân đối với lượng của nó do đó táo rút ra trái đất., cũng như trái đất thu hút sự táo.

John Conduitt, trợ lý của Newton tại Royal Mint và chồng của cô cháu gái của Newton, cũng mô tả các sự kiện khi ông đã viết về cuộc sống của Newton:

Vào năm 1666, ông nghỉ hưu từ Cambridge với mẹ ông ở Lincolnshire. Trong khi đang lang thang trầm tư trong vườn, thì đến hiện ý tưởng rằng sức mạnh của lực hấp dẫn (đã mang quả táo từ trên cây rơi xuống đất) không bị giới hạn trong một khoảng cách nhất định từ trái đất, nhưng sức mạnh này phải trải rộng ra xa hơn là thường nghĩ. Tại sao không cao như mặt trăng nói ông đến mình, và nếu như vậy, mà phải ảnh hưởng đến chuyển động của mặt trăng và có lẽ giữ lại trong quỹ đạo của nó, từ đó ông lao vào tính toán những gì sẽ là kết quả của giả thiết đó.

Trong một việc tương tự, Voltaire đã viết trong cuốn tiểu luận về Epic Thơ (1727), "Sir Isaac Newton đi bộ trong khu vườn của mình, có những suy nghĩ đầu tiên của hệ thống hấp dẫn của ông, khi thấy một quả táo rơi xuống từ một cây."

Newton đã phải vật lộn trong cuối thập kỷ 1660 với ý tưởng rằng lực hấp dẫn tương tác trên mặt đất, trong một tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách; Tuy nhiên ông đã phải mất hai thập kỷ để phát triển các lý thuyết đầy đủ. Câu hỏi đặt ra không phải là liệu trọng lực tồn tại, nhưng liệu nó có mở rộng để cách xa Trái đất mà nó còn có thể là lực giữ mặt trăng trên quỹ đạo của nó. Newton đã chỉ ra rằng nếu lực tương tác giảm tỉ lệ nghịch với khoảng cách, người ta có thể tính toán chu kỳ quỹ đạo của Mặt trăng một cách thống nhất. Ông đoán một loại lực chung là nguyên do của mọi chuyển động quỹ đạo, và do đó đặt tên nó là "lực vạn vật hấp dẫn".

Sau này Newton nêu ra: Mọi vật trên trái đất đều chịu sức hút của trái đất, mặt trăng cũng chịu sức hút của trái đất, đồng thời trái đất cũng chịu sức hút của mặt trăng; Trái đất chịu sức hút của mặt trời, mặt trời đồng thời cũng chịu sức hút của trái đất. Nói một cách khác là vạn vật trong vũ trụ đều có lực hấp dẫn lẫn nhau, vì có loại lực hấp dẫn này mà mặt trăng mới quay quanh trái đất, trái đất mới quay quanh mặt trời.

Tác phẩm

Xuất bản khi sinh thời

De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1669, published 1711)

Method of Fluxions (1671)

Of Natures Obvious Laws & Processes in Vegetation (unpublished, c. 1671–75)[8]

De motu corporum in gyrum (1684)

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

Opticks (1704)

Reports as Master of the Mint (1701–25)

Arithmetica Universalis (1707)

Xuất bản sau khi qua đời

The System of the World (1728)

Optical Lectures (1728)

The Chronology of Ancient Kingdoms Amended (1728)

De mundi systemate (1728)

Observations on Daniel and The Apocalypse of St. John (1733)

Newton, Isaac (1991). Robinson, Arthur B., biên tập. Observations upon the Prophecies of Daniel, and the Apocalypse of St. John. Cave Junction, Oregon: Oregon Institute of Science and Medicine. ISBN 0-942487-02-8. (A facsimile edition of the 1733 work.)

An Historical Account of Two Notable Corruptions of Scripture (1754)

HOẠT ĐỘNG QUAN SÁT VŨ TRỤ ĐƯỢC ĐƯA LÊN KHÔNG TRUNG NHƯ THẾ NÀO ?

Năm 1959 Liên Xô cũ đã phóng máy thăm dò Mặt Trăng số 3 lên không trung và chụp ảnh Mặt Trăng. Qua những bức ảnh này lần đầu tiên con người thấy được diện mạo phía bên kia của Mặt Trăng. Bề mặt Mặt Trăng gồ ghề lỗ chỗ, đây là kết quả của các tiểu hành tinh không ngừng lao vào Mặt Trăng. Giống như một vệ sĩ trung thành, Mặt Trăng âm thầm lấy thân mình che chắn những đợt công kích của các du khách vũ trụ, bảo vệ sự bình yên cho Trái Đất. Và loài người chỉ biết được điều này khi hoạt động quan sát của chúng ta được đưa lên không trung.

Cách đây rất lâu, người Trung Quốc đã biết chế tạo ra tên lửa. Trải qua nhiều lần thử nghiệm, năm 1926 nhà vật lý người Mỹ là Doddar Robet Hutchings đã phóng thành công một tên lửa có nhiên liệu là chất liệu lỏng. Trong đại chiến thế giới lần thứ hai người Đức đã chế tạo và sử dụng các tên lửa quân dụng cực mạnh nhưng Liên Xô mới là nước đầu tiên tiến vào không trung. Tháng 10 năm 1957 vệ tinh nhân tạo đầu tiên đi vào quỹ đạo, sau đó người Liên Xô còn đưa một chú chó nhỏ lên vũ trụ. Năm 1961, người Mỹ đã thành công đưa một con tinh tinh lên thái không. Lúc đầu nhịp tim của con vật này đập rất mạnh nhưng ngay sau đó nó đã khôi phục bình thường và trở về được mặt đất. Cùng lúc đó Liên Xô đã âm thầm chuẩn bị cho một kế hoạch lớn hơn và ngày 12 tháng 4 năm 1961, Gagarin đã làm nên lịch sử - trở thành người đầu tiên bay vào vũ trụ. Các kế hoạch của Liên Xô đưa ra nối tiếp nhau, người nữ phi hành đầu tiên bay vào vũ trụ rồi nhà du hành đầu tiên rời khỏi phi thuyền bước ra vũ trụ. Ngày 20 tháng 7 năm 1969 người Mỹ đặt chân lên Mặt Trăng. Năm 1975 tên lửa Sao Thổ cuối cùng của kế hoạch Apôlô được phóng lên đồng thời với một tên lửa của Liên Xô, hai phi thuyền đã tiếp giáp nhau trên quỹ đạo của Trái Đất.