Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo BD. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, BA lần lượt tại M, N. Vẽ hình chữ nhật MANF. a) CM: AF song song BD b) CM: E là trung điểm của CF
Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MDNF. Chứng minh: a) DF song song với AC. b) E là trung điểm của BF.
Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MDNF. Chứng minh:
a) DF song song với AC.
b) E là trung điểm của BF.
Answer:
a) Gọi I và J là giao điểm các đường chéo của hình chữ nhật MDNF và hình chữ nhật ABCD
Tam giác IND và tam giác JCD là các tam giác cân \(\Rightarrow\widehat{N_1}=\widehat{D_1}\) và \(\widehat{C_1}=\widehat{D_2}\)
Mặt khác \(\widehat{N_1}=\widehat{D_2}\) (Hai góc đồng vị)
Vậy \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\Rightarrow DF//AC\)
b) Tứ giác EIDJ là hình bình hành vì có các cạnh đối song song
Có: EJ = ID nhưng IF = ID \(\Rightarrow IF=EJ\)
Từ đó tứ giác EFIJ là hình bình hành \(\Rightarrow FE=IJ\left(1\right)\)
Mặt khác trong tam giác FBD: có FB // IJ (2)
Từ (1) và (2) => điểm E, điểm B, điểm F thẳng hàng
Mà EF = IJ và EB = IJ
=> E là trung điểm BF
Cho hình chữ nhật ABCD (AB>BC).Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F cho cho AE=CF.
a) Chứng minh AECF là hình bình hành.
b) Đường thẳng DB cắt AF tại M và cắt CE tại N.Chứng minh BN=CM.
c) Đường thẳng qua E song song với BD cắt AD tại I, đường thẳng qua F và song song với BD cắt BC tại K.Chứng minh các đường thẳng AC,EF và IK cùng đi qua trung điểm O của BD.
d) Cho góc AOD=60° và AD=1cm. tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
AE = CF (gt)
mà AE // CF (ABCD là hình chữ nhật)
=> AECF là hình bình hành
=> FA // CE
=> AFD = ECF (2 góc đồng vị)
mà ECF = CEB (2 góc so le trong, AB // CD)
=> AFD = CEB (1)
AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)
mà AE = CF (gt)
=> AB - AE = CD - CF
=> EB = DF (2)
Xét tam giác NEB và tam giác MFD có:
NEB = MFD (theo 1)
EB = FD (theo 2)
EBN = FDM (2 góc so le trong, AB // CD)
=> Tam giác NEB = Tam giác MFD (g.c.g)
=> BN = DM (2 cạnh tương ứng)
O là trung điểm của BD (3)
=> O là trung điểm của AC (ACBD là hình chữ nhật) (4)
=> O là trung điểm của EF (AECF là hình bình hành) (5)
AEI = ABD (2 góc so le trong, EI // BD)
CFK = CDB (2 góc so le trong, FK // BD)
mà ABD = CBD (2 góc so le trong, AB // CD)
=> AEI = CFK (6)
EI // BD (gt)
FK // DB (gt)
=> EI // FK (7)
Xét tam giác EAI và tam giác FCK có:
IEA = KFC (theo 6)
EA = FC (gt)
EAI = FCK (= 900)
=> Tam giác EAI = Tam giác FCK (g.c.g)
=> EI = FK (2 cạnh tương ứng)
mà EI // FK (theo 7)
=> EIFK là hình bình hành
mà O là trung điểm của EF (theo 5)
=> O là trung điểm của IK (8)
Từ (3), (4), (5) và (8)
=> AC, EF, IK đồng quy tại O là trung điểm của BD
O là trung điểm của AC và BD
=> OA = OC = \(\frac{AC}{2}\)
OB = OD = \(\frac{BD}{2}\)
mà AC = BD (ABCD là hình chữ nhật)
=> OA = OD = OB = OC
=> Tam giác OAD cân tại O
mà AOD = 600
=> Tam giác OAD đều
=> AD = OA = OD
mà AD = 1 cm
AD = BC (ABCD là hình chữ nhật)
=> OA = OD = OC = OB = BC = 1 cm
=> AC = 2OA = 2 . 1 = 2 cm
Xét tam giác BAC vuông tại B có:
\(AC^2=BA^2+BC^2\) (định lý Pytago)
\(AB^2=AC^2-BC^2\)
\(=2^2-1^2\)
\(=4-1\)
= 3
\(AB=\sqrt{3}\)
\(S_{ABCD}=AB\times BC=\sqrt{3}\times1=\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
Cho hình chữ nhật ABCD, O là giao điểm 2 đường chéo, Lấy E thuộc cạnh CD, EO cắt AB tại F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt AD tại M, đường thẳng qua E song song với BD cắt BC tại N.
a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác MÈN là hình bình hành
c) Chứng minh ba điểm M , O, N thẳng hàng
d) Gọi I là giao điểm của NF và BD. Chứng minh I là trung điểm NF
Cho hình chữ nhật ABCD, O là giao điểm 2 đường chéo, Lấy E thuộc cạnh CD, EO cắt AB tại F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt AD tại M, đường thẳng qua E song song với BD cắt BC tại N.
a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác MÈN là hình bình hành
c) Chứng minh ba điểm M , O, N thẳng hàng
d) Gọi I là giao điểm của NF và BD. Chứng minh I là trung điểm NF
Cho hình chữ nhật ABCD , O là giao điểm hai đường chéo . Lấy ddiem E thuộc cạnh CD, EO cắt AB tại F . Đường thẳng qua E song song với AC cắt AD tại M , đường thẳng qua E song song với BD cắt BC ở N.
a) chứng minh BEDF là hình bình hành
b) chứng minh MENF là hình bình hành
c) chứng minh M,N,O thẳng hàng
d) gọi I là giao điểm NF và BD chứng minh trung điểm NF
Cho hình chữ nhật ABCD, 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lấy E là điểm bất kì thuộc OA. BE cắt AD tại M, Qua P kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC tại N và cắt AC tại F.
a) Chứng minh: BMDN là hình bình hành
b) Chứng minh: O là trung điểm EF
c) Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H, cắt CD tại I. Gọi O' là trung điểm IH. Chứng minh OO' song song DN
d) Gọi K là điểm đối xứng với D qua O'. Chứng minh: K, M, B thẳng hàng
Cho hình chữ nhật ABCD ,O là giao điểm 2 đường chéo .Qua I thuộc OA , kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD,AB tại E và F
a) CHỨNG MINH IE=IF
b)GỌI K,M LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BE VÀ DF .CHỨNG MINH TỨ GIÁC IKOM LÀ HÌNH CHỮ NHẬT