Cho điểm O trong tam giác ABC gọi A' , B' , C' lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. CMR:
a/ \(T=AB'+BC'+CA'=BA'^2+CB'^2+AC'^2\)
b/ Tìm vị trí của O để T min
Cho điểm \(O\)trong tam giác \(ABC\)gọi \(A',B',C'\)lần lượt là hình chiếu của \(O\)trên \(BC,CA,AB\).
a/ \(CMR:T=AB'^2+BC'^2+CA'^2=BA'^2+CB'^2+AC'^2\)
b/ Tìm vị trí \(O\)để \(T\)min
a) ĐỊnh lí Carnot ( Các -nô )
b) Ta có : \(2T = AB'^2 + A'C^2 + AB'^2 +B'C^2 +AC'^2 + BC'^2 \geq \frac{1}{2} ( ( A'B + A'C)^2 + (C'A +C'B )^2 + (B'A +B'C)^2 ) = \frac{1}{2} ( AB^2 +AC^2 + BC^2 )/)
O là trọng , trực,.. tâm của tam giá và tam giác đó đều .
Chúc em học tốt, thân!
Cho tam giác ABC, O là điểm cách đều ba cạnh. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM=BA. Trên tia CB lấy điểm N sao cho CN=CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) NE=MF.
b)Tam giác MON là tam giác cân.
a) Vì O lầ điểm cách đều 3 cạnh của \(\Delta ABC\) nên:
+) \(OD=OE=OF\)
+) \(AO\), \(BO\) và \(CO\) là 3 đường phân giác của \(\Delta ABC\)
Xét \(\Delta BFO\) và \(\Delta BDO\) có:
\(\widehat{BFO}\)=\(\widehat{BDO}\)=90o
\(BO\) chung
\(OF=OD\) (CMT)
\(\Rightarrow\Delta BFO=\Delta BDO\) (ch-cgv)
\(\Rightarrow BF=BD\)
\(\Rightarrow\Delta BFD\) cân tại \(B\)
\(\Rightarrow\widehat{BFD}\)=\(\widehat{BDF}\)= ( \(180^o\)- \(\widehat{FBD}\)) : 2 \(\left(1\right)\)
Vì \(BA=BM\) (gt) nên \(\Delta BAM\) cân tại \(B\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}\)=\(\widehat{BMA}\)= (\(180^o\)-\(\widehat{ABM}\)) : 2 \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\widehat{BFD}\)=\(\widehat{BAM}\) mà chúng ở vị trí đồng vị nên \(DF\)//\(AM\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(AFDM\) là hình thang \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) \(\Rightarrow\) \(AFDM\) là hình thang cân
\(\Rightarrow\) \(MF=AD\) \(\left(4\right)\)
CM tương tự ta được: \(AEDN\) là hình thang cân
\(\Rightarrow\) \(NE=AD\) \(\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right)\) và \(\left(5\right)\) \(\Rightarrow MF=NE\)
b) Xét \(\Delta ODM\) và \(\Delta OFA\) có:
\(OD=OF\) (CMT)
\(\widehat{ODM}\)=\(\widehat{OFA}\)=\(90^o\)
\(OM=FA\) (\(AFDM\) là hình thang cân)
\(\Rightarrow\Delta ODM=\Delta OFA\) (c.g.c)
\(\Rightarrow OM=OA\left(6\right)\)
CM tương tự ta được \(\Delta ODN=\Delta OEA\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\)\(ON=OA\) \(\left(7\right)\)
Từ \(\left(6\right)\) và \(\left(7\right)\) \(\Rightarrow OM=ON\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta MON\) cân tại \(O\)
Mình biết bài này là từ 2019 rồi nhưng mà đề này mình thấy chưa ai làm nên mình làm để có bạn nào tìm thì sẽ có để tham khảo.
Cho tam giác ABC, O là điểm cách đều ba cạnh. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM=BA. Trên tia CB lấy điểm N sao cho CN=CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) NE=MF.
b)Tam giác MON là tam giác cân.
1,Cho tam giác ABC gọi G là trọng tâm.Đường thẳng d không cắt tam giác ABC.Gọi A',B',C',G' lần lượt là hình chiếu của A,B,C,G trên đường thẳng d.Chứng minh rằng GG'=(AA'+BB'+CC')/3
bạn dúp mình giải đc ko
Cho tam giác ABC. O là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA, trên cạnh CB lấy điểm N sao cho CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
a) NE = MF
b) Tam giác MON cân
a) Vì O cách đều 3 cạnh của tam giác nên OD = OE = OF
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OBF và tam giác vuông ODB ta có:
BF=√OB2−OF2BF=OB2−OF2
BD=√OB2−OD2BD=OB2−OD2
Mà OF = OD nên BF = BD.
Tương tự áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OEC và tam giác vuông ODC suy ra CE = CD
∆BAM có AB = BM nên ∆BAM là tam giác cân tại B ⇒ˆBAM=ˆBMA⇒BAM^=BMA^
Xét ∆BAM có BF = BD, BA = BM nên theo định lý Ta – lét ta có :
BFBA=BDBM⇒DF//AM⇒BFBA=BDBM⇒DF//AM⇒ DFAM là hình thang
Hình thang DFAM có ˆFAM=ˆAMDFAM^=AMD^ nên DFAM là hình thang cân
⇒{MF=ADAF=MD⇒{MF=ADAF=MD
∆ANC có AC = CN nên ∆ANC cân tại C⇒ˆCAN=ˆCNA⇒CAN^=CNA^
Xét ∆ANC có CE = CD, CA = CN nên theo định lý Ta – lét ta có :
CECA=CDCN⇒DE//AN⇒CECA=CDCN⇒DE//AN⇒ DEAN là hình thang
Hình thang DEAN có ˆCAN=ˆCNACAN^=CNA^ nên DEAN là hình thang cân
⇒{NE=ADAE=ND⇒{NE=ADAE=ND
⇒MF=NE⇒MF=NE
b) Xét ∆OEA và ∆ODN ta có :
⎧⎪⎨⎪⎩OE=ODˆOEA=ˆODNEA=DN{OE=ODOEA^=ODN^EA=DN⇒ΔOEA=ΔODN(c−g−c)⇒ON=OA⇒ΔOEA=ΔODN(c−g−c)⇒ON=OA
Xét ∆OAF và ∆OMD ta có :
⎧⎪⎨⎪⎩AF=MDˆOFA=ˆODMOF=OD{AF=MDOFA^=ODM^OF=OD⇒ΔOAF=ΔODM(c−g−c)⇒OA=OM⇒ΔOAF=ΔODM(c−g−c)⇒OA=OM
⇒OM=ON⇒OM=ON hay ∆MON cân tại O.
Cho Tam giác ABC, O là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia CB lấy N sao cho CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC; CA; AB. CMR:
a)NF = MF
b,Tam giác MON là tam giác cân
Cho Δ ABC, O là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia CB lấy N sao cho CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. CMR:
a, NF = MF
b, tam giác MON cân
Câu 1. Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu O trên các cạnh AB, BC, CA. Biết AB > BC > CA. Khi đó:
O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là các hình chiếu của O trên BC, AC ,AB.. Trên các tia OD, OE, OF lấy lần lượt các điểm A', B', C' sao cho OA'=BC,OB'=AC,OC'=AB.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A'B'C' không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trong tam giác
b) Điểm O có vị trí gì đối với tam giác A'B'C' ?
cho điểm O nằm trong tam giác ABC.Gọi F,E,P lần lượt là hình chiếu của điểm O trên các cạn AB,BC,CA của tam giác ABC
chứng minh
AB+BC+CA/2<OC+OA+OB<AB+AC+BC