Gọi d là ƯCLN ( 14n + 3 và 21n + 4).

14n + 3 \(⋮\)d\(\Rightarrow\)42n + 9\(⋮\)d

21n + 4\(⋮\)d\(\Rightarrow\)42n + 8\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)( 42n + 9) - ( 42n+ 8) = 42n + 9 -42 n -8

          = 42n -42n + 9-8 = 1 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)d\(\in\)Ư (1) = 1

Vậy ƯCLN ( 14n +3 và 21n + 4) = 1

\(14n+3\)

\(21n+4\)

\(\Rightarrow84n+18\)

\(84n+16\)

Mà hai số đều trùng \(84n\)

\(\RightarrowƯCLN\left(18;16\right)\)

\(18=2.3^2\)

\(16=2^4\)

ƯNLN (18;16) = 2

\(\RightarrowƯCLN\left(14n+3;21n+4\right)=2\)

Gọi ƯCLN (14n+3;21n+4) = d (d là số tự nhiên khác 0)

Ta có: d\14n+3 => d\ 6(14n+3) => d\ 84n+18

Và d\ 21n+4 => d\ 4(21n+4) => d\ 84n+16

Nên d\ (84n+18) - (84n+16)

=> d\ 2

Mà d là số tự nhiên khác 0

=> d = 1 hoặc d = 2

Vì 14n+3 không chia hết cho 2

=> d khác 2

=> d =1

=> ƯCLN (14n+3;21n+4) = 1

Vậy ƯCLN (14n+3;21n+4) = 1

Cho mình sửa là ƯCLN

tự suy luận ra bn

Đặt d là ƯCLN ( 14n + 3 ; 21n + 4 )

Ta có : 

14n + 3 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)3 . ( 14n + 3 ) \(⋮\)d

21n + 4 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)2 . ( 21n + 4 ) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)3 . ( 14n + 3 ) - 2 . ( 21n + 4 ) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)( 42n + 9 ) - ( 42n + 8 ) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1 \(⋮\)d

Vậy d = 1

 goi UCLN(n+3,2n+5)=d

=>n+3 chia hết cho d

   2n+5 chia hết cho d

=>2n+6 chia hết cho d

=>2n+5 chia hết cho d

=>(2n+6)-(2n+5) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d.

mà 1 chia hết cho 1

=>d=1

=>UCLN(2n+5,n+3)=1

=> n+3 và 2n+5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

vay....

Gọi d là USC (n+3; 2n+5) => (n+3):d và (2n+5):d <=>(2n+6):d và (2n+5):d <=> [(2n+6)-(2n+5)]:d <=> (2n+6-2n-5):d <=>1:d

=> ƯCLN của 2 số đó là 1 => Chúng là số nguyên tố cùng nhau

Vì ƯCLN(a,b) = 48 nên a = 48m , b = 48n , ƯCLN(m,n) = 1

Ta có: a + b = 144

=> 48m + 48n = 144

=> 48(m + n) = 144

=> m + n = 144 : 48 = 3

Giả sử m > n

Mà ƯCLN(m,n) = 1 nên ta có bảng:

Suy ra

Vậy...

Ta có : UCLN ( a , b ) = 48 

     => a = 48 . h ; b = 48 . k  với ucln ( h ,k ) = 1

Mà a + b = 144   nên     48 . h + 48 . k = 144

                                =>  48 . ( h + k )   = 144

                                =>           h + k     = 144 : 48                                                                                                                       Vì a , b thuộc N         =>           h + k     = 3 = 0 + 3 = 1 + 2  

                                => 144 = a + b = 0 + 144 = 144 + 0 = 48 + 96 = 96 + 48

Vì ƯCLN (a, b)=48 => a = 48 . n và b = 48 . n (với mọi ƯCLN (m , n) = 1)

Theo bài ra ta có : 48n + 48m = 144

<=> 48(n + m) = 144

=> n + m = \(\frac{144}{48}=3\) 

Lại có m,n là hai số nguyên tố cùng nhau 

Nên : + nếu n = 1 thì m = 2 => a = 48 , b = 96

         + nếu n = 2 thì m = 1 => a = 96 , b = 48

Vậy nếu n = 1 thì m = 2 => a = 48 , b = 96

       nếu n = 2 thì m = 1 => a = 96 , b = 48

mk lấy ví dụ n =1; 2n+5 = 2x1+5= 7; 3n+7=3x1+7 = 10;

          ƯCLN (7;10) = 1

hình như bạn làm sai rồi

Bài giải :

Gọi d là ƯCLN(2n + 5 ; 3n + 7)

Ta có : 2n + 5 = 3(2n + 5 ) = 6n + 15 và 3n + 7 = 2(3n + 7 ) = 6n + 14

Suy ra ( 6n + 15 ) - ( 6n + 14 ) chia hết cho d

          ( 6n - 6n ) + ( 15 - 14 ) chia hết cho d

                          1               chia hết cho d   => d = 1

Kết luận UCLN( 2n + 5 ; 3n + 7) = 1

Vậy 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau