a  ≥  0; b  ≥  0 và  a  <  b  ⇒  b  > 0

Suy ra:  a  +  b  > 0 và  a  -  b  < 0

( a  +  b  )( a  -  b ) < 0

⇒ a 2 - b 2  < 0 ⇒ a – b < 0 ⇒ a < b

a ≥ 0; b  ≥  0 và a < b ⇒ b > 0

Ta có:  a   ≥ 0;  b   ≥  0 suy ra:  a  +  b  > 0     (1)

Mặt khác: a – b = a 2 - b 2  = ( a  +  b  )( a -  b  )

Vì a < b nên a – b < 0

Suy ra: ( a  +  b  )( a  -  b  ) < 0     (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  a  -  b  < 0 ⇒  a  <  b

a<b

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\)

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b 

Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b  ≥  0 nên  b  xác định

Ta có:  a - b 2 ≥  0 ⇔ a - 2 a b  + b  ≥  0

⇒ a + b  ≥  2 a b  ⇔  a + b 2 ≥ a b

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

a) \(a< b\)

\(\rightarrow\sqrt{a}^2< \sqrt{b}^2\)

\(\rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\)

b) \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)

\(\rightarrow\sqrt{a}^2< \sqrt{b}^2\)

\(\rightarrow a< b\)

Ko chắc lắm ^^!

\(a,\)\(a< b\Rightarrow a-b< 0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)

Vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\)\(\left(đpcm\right)\)

\(b,\)\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)

Ta có :\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b\)

Mà \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\); \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

\(\Rightarrow a-b< 0\)\(\Leftrightarrow a< b\)