Cho hai điểm A,B cố định và K di chuyển trên AB ( K không trùng với A và B). Vẽ Kx vuông góc với AB, trên Ax lấy M sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Các đường cao MK,AD,BE của tam giác MAB cắt nhau tại H. Tìm GTLN của KH.MK
Cho hai điểm A,B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM
Tam giác vuông KAH và tam giác vuông KMB có góc KAH = góc KMB( vì cùng phụ góc B) => KA/KM = KH/KB
=> KH.KM = KA.KB
Áp dụng bất đẳng thức \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\), ta có \(KH.KM=KA.KB\le\left(\frac{KA+KB}{2}\right)^2=\frac{AB^2}{4}\)
Dấu = xảy ra <=> KA = KB <=> MA = MB
Cho đường tròn tâm (O;R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyết xy. Từ một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H; MO cắt AB tại K. Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào
H cách A cố định một khoảng bằng OA không đổi nên H di chuyển trên đường tròn (A ; AO).
Chúc bạn học tốt
Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cosi (Cauchy) và Bunhiacốpxki
áp dụng làm giúp mình 2 bài này với
Bài 1: Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm max của KH.KM
Bài 2: Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính bằng 1. Tam giác ABC luôn thay đổi và luôn ngoại tiếp với đường tròn O. Một đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB,AC lần lượt tại M,N. Xác định min của diện tích tam giác AMN
x2>=0 Dấu "=" chỉ xảy ra khi x=0
-x2 =< 0 Dấu "=" chỉ xảy ra khi x=0
*) bđt Cô-si
cho a,b không âm ta có \(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{ab}\)(*) dấu "=" xảy ra khi a=b
tổng quát: cho n số không âm a1;a2;....;an
ta có \(\frac{a_1+a_2+....+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2......a_n}\)dấu "=" xảy ra khi a1=a2=....=an
*) bđt Bunhiacopxki
cho bốn số a,b,c,d ta luôn có (ab+cd)2 =< (a2+c2)(b2+d2) dấu "=" xảy ra <=> ad=bc
tổng quát cho 2n số a1,a2,...;an; b1,b2,....,bn
ta luôn có (a1b1+a2b2+....+anbn)2 =< (a12+a22+....+an2).(b12+....+bn2)
dấu "=" xảy ra \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=....=\frac{a_n}{b_n}\)
quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0
(1) 2(a2+b2) >= (a+b)2 >= 4ab
(2) 3(a2+b2+c2) >= (a+b+c)2 >= 3(ab+bc+ca)
(3) \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
(4) \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
gọi E là giao điểm của Ah và MB. xét tam giác KAH và tam giác KMB có
\(\widehat{AKH}=\widehat{MKB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{KAM}=\widehat{KMB}\)(2 góc cùng phụ góc AMN)
do đó tam giác KAH ~ tam giác KMB => \(\frac{KH}{KB}=\frac{AK}{BM}\Rightarrow KH\cdot KM=AK\cdot AB\)
áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có:
\(\sqrt{AK\cdot AB}\le\frac{AK+AB}{2}\Leftrightarrow AK\cdot AB\le\frac{AB^2}{4}\)
do đó \(KH\cdot KM\le\frac{AB^2}{4};\frac{AB^2}{4}\)không đổi. dấu "=" xảy ra <=> AK=AB
vậy giá trị lớn nhất của KH.KM là \(\frac{AB^2}{4}\)khi AK=AB
giả sử đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC lần lượt tại H,K
SAMN=SOAM+SOAN=\(\frac{1}{2}OH\cdot AM+\frac{1}{2}OK\cdot AN=\frac{AM+AN}{2}\)
vẽ MI _|_ AB tại I ta có AM >= MI
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm, ta có \(\frac{AM+AN}{2}\ge\sqrt{AM\cdot AN}\)
do đó \(S_{AMN}\ge\sqrt{AM\cdot AN}\ge\sqrt{MI\cdot AN};S_{AMN}=\frac{1}{2}MI\cdot AN\Rightarrow MI\cdot AN=2S_{AMN}\)
vậy \(S_{AMN}\ge\sqrt{2S_{AMN}}\Leftrightarrow S^2_{AMN}\ge2S_{AMN}\Leftrightarrow S_{AMN}\ge2\)(do SAMN >0)
AM=AN=MI, tức là \(\widehat{BAC}=90^o\)và AM=AN thì SAMN=2
vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác là 2
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC b) Góc BMC = 120o
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 3:Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2.
Chứng minh rằng : Góc PCQ = 45o
Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các ∆MAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Bài1: cho tam giác ABC nhọn(AB《AC). Có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) CM: Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF.
b) CM: Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ACB.
c) Tia phân giác của góc ABE cắt tia phân giác của góc ACF tại K,gọi I,J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Cm: I,K,J thẳng hàng.
Bài2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB《AC),vẽ đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm M (M không trùng với H và C),từ M vẽ MN vuông góc với AC tại N.
a) CM:tam giác CMN đồng dạng với tam giác CAH và CA×CN=CH×CM
b) CM: tam giác ACM đồng dạng với tam giác HNC.
c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD《AC. Vẽ AE vuông góc với BD tại E. CM:góc BEH=góc BCN. Gọi K,F lần lượt là trung điểm BH và BD. I là giao điểm của EK và CF. CM: KC×IE=EF×IC.
Bài 1:
a) Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:
Góc AEB=góc AFC(=90 độ)
Góc A chung
=>Tam giác ABE đồng dạng vs tam giác ACF (g-g)
b)
Vì tam giác ABE đồng dạng vs tam giác ACF(cmt)
=>\(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)
Xét tam giác AFE và tam giác ACB có:
Góc A chung(gt)
\(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)
=>Tam giác AFE và tam giác ACB đồng dạng (c-g-c)
c)
H ở đou ra vại? :))
Cho tam giác ABC có góc A tù,trong góc BAC vẽ 2 tia Ax và Ay theo tt vuông góc lần lượt với AC và AB. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE=AC, trên tia Ay lấy ₫ M sao cho AM=AB. Đường cao AH của tam giác ABC cắt EM ở I, đường cao AD của tam giác AEM cắt BC ở K. CM rằng:
a) tam giác AEI=tam giácCAK
b) IE=IM
Cho tam giác ABC có góc A tù,trong góc BAC vẽ 2 tia Ax và Ay theo tt vuông góc lần lượt với AC và AB. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE=AC, trên tia Ay lấy ₫ M sao cho AM=AB. Đường cao AH của tam giác ABC cắt EM ở I, đường cao AD của tam giác AEM cắt BC ở K. CM rằng:
a) tam giác AEI=tam giácCAK
b) IE=IM
Cho tam giác ABC có góc A tù,trong góc BAC vẽ 2 tia Ax và Ay theo tt vuông góc lần lượt với AC và AB. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE=AC, trên tia Ay lấy ₫ M sao cho AM=AB. Đường cao AH của tam giác ABC cắt EM ở I, đường cao AD của tam giác AEM cắt BC ở K. CM rằng:
a) tam giác AEI=tam giácCAK
b) IE=IM
Cho đường tròn (O;R) với dây AB = R√2 cố định. Điểm M thuộc cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Các đường cao AE, BF cuar tam giác MAB cắt nhau tại H, cắt đường tròn (O) lần lượt ở P và Q.
a) CM tam giác OAB vuông cân
b) Chứng minh O, P, Q thẳng hàng
c) Gọi S là giao điểm cuaa3 PB và QA. CM SH=2R