S_AMQ = \(\dfrac{1}{2}\)AM\(\times\)AQ  = \(\dfrac{1}{2}\times\) \(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{8}\)\(\times\)S_ABCD

S_DPQ = \(\dfrac{1}{2}\)DQ\(\times\)DP   = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) AD\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)DP = \(\dfrac{1}{8}\) \(\times\) S_ABCD

CN    =   CB - BN     = CB - \(\dfrac{1}{3}\)CB = \(\dfrac{2}{3}\)CB

S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)CP\(\times\)CN   =  \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) CD\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)CB = \(\dfrac{1}{6}\)S_ABCD

S_BNM = \(\dfrac{1}{2}\)BN\(\times\)BM   = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)BC    = \(\dfrac{1}{12}\)S_ABCD

Diện tích tứ giác MNPQ bằng:  (1 - \(\dfrac{1}{8}\) - \(\dfrac{1}{8}\) - \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{12}\) )S_ABCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD

Diện tích của tứ giác MNPQ là: 240\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) = 120 (cm²)

 

 

S_AMQ = \(\dfrac{2}{3}\)S_ABQ (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM  = \(\dfrac{2}{3}\) AB)

S_ABQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy  AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_AMQ = \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 36 (cm²)

S_BMN = \(\dfrac{1}{3}\)BMC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ điỉnh M xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)

BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB

S_BCM = \(\dfrac{1}{3}\)S_ACB (vì hai tam giâc có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB  và BM = \(\dfrac{1}{3}\)AB)

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_BMN = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{18}\)S_ABCD = 216 \(\times\) 18 = 12 (cm²)

CN = BC - BN = BC  - \(\dfrac{1}{3}\)BC = \(\dfrac{2}{3}\)BC

S_CPN = \(\dfrac{2}{3}\)S_{BPC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{2}{3}\)BC)}

S_PBC = \(\dfrac{1}{2}\)S_BCD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy  CD và PC = \(\dfrac{1}{2}\)CD)

S_BCD =  \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD  là hình chữ nhật)

S_CPN = \(\dfrac{2}{3}\times\)\(\dfrac{1}{2}\times\)\(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD =\(\dfrac{1}{6}\)S_ABCD = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 36 (cm²)

S_DPQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_DQC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh  Q xuống đáy DC và DP = \(\dfrac{1}{2}\)DC)

S_DQC  = \(\dfrac{1}{2}\)S_ACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD )

S_ACD = \(\dfrac{1}{2}\) S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_DPQ  = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD  = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = 27 (cm²)

Diện tích tứ giác MNPQ là:

216 - ( 36 + 12 + 36 + 27) = 105 (cm²)

Đáp số: 105 cm²

 

 

 

 

Bài này có rất nhiều lời giải tương tự chỉ thay số thôi em

Vẽ hình

Tính diện tích 4 tam giác

MNPQ = ABCD - S4 tam giác

Tính DT 4 tam giác

MNPQ=ABCD-S4 tam giác

\(S_{AMQ}=\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot AQ=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}AB\cdot\dfrac{1}{2}AD=144\cdot\dfrac{1}{8}=18\left(cm^2\right)\)

\(S_{MBN}=\dfrac{1}{2}\cdot MB\cdot BN=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot\dfrac{1}{3}BC=\dfrac{1}{12}\cdot144=12\left(cm^2\right)\)

\(S_{NCP}=\dfrac{1}{2}\cdot NC\cdot CP=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot BC\cdot\dfrac{2}{3}\cdot CD=\dfrac{2}{9}\cdot144=32\left(cm^2\right)\)

\(S_{QDP}=\dfrac{1}{2}\cdot QD\cdot DP=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\dfrac{1}{3}CD=\dfrac{1}{12}\cdot144=12\left(cm^2\right)\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=144-18-12-32-12=70\left(cm^2\right)\)

Hướng dẫn:

SMNPQ = SABCD - (SAMQ+SBMN+SCNP+SPDQ)

+ Tính diện tích 4 tam giác theo độ dài của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật

+ Từ đó tính được:

SMNPQ =73 (cm2)

giúp mình vs

 Hình như mình từng nói với bạn về cái bổ đề cho tam giác ABC với E, F lần lượt thuộc cạnh AC với AB thì \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE.AF}{AB.AC}\) rồi đúng không?

 

 Áp dụng bổ đề ấy cho bài toán này, ta được \(\dfrac{S_{AMQ}}{S_{ABD}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{S_{BMN}}{S_{BAC}}=\dfrac{BM}{BA}.\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

 \(\dfrac{S_{CNP}}{S_{CBD}}=\dfrac{CN}{CB}.\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\)

 \(\dfrac{S_{DPQ}}{S_{DAC}}=\dfrac{DQ}{DA}.\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\)

Mà \(S_{ABD}=S_{BAC}=S_{CBD}=S_{DAC}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.480=240\) và \(S_{AMQ}+S_{BMN}+S_{CNP}+S_{DPQ}=S_{ABCD}-S_{MNPQ}=480-S_{MNPQ}\) nên từ các đẳng thức trên suy ra \(\dfrac{480-S_{MNPQ}}{240}=\dfrac{23}{24}\) \(\Rightarrow S_{MNPQ}=250\left(cm^2\right)\) 

S_BMN = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABN (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{2}\)AB)

S_ABN = \(\dfrac{2}{3}\)S_ABC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{2}{3}\)BC)

S_ABC  = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_BMN = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD =480 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 80(cm²)

S_AMQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABQ(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{1}{2}\)AB)

S_ABQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy ADvà AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_AMQ = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 480 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = 60(cm²)

S_DPQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_APD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)

PD = DC - CP = DC - \(\dfrac{3}{4}\)DC = \(\dfrac{1}{4}\)DC 

S_APD = \(\dfrac{1}{4}\)S_ACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy CD và PD = \(\dfrac{1}{4}\)CD)

S_ACD = \(\dfrac{1}{2}\)S_{ABCD(vì ABCD là hình chữ nhật)}

S_DPQ = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 480 \(\times\dfrac{1}{16}\) = 30 (cm²)

S_CPN = \(\dfrac{3}{4}\)S_CDN(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{3}{4}\)CD)

CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC

S_CDN = \(\dfrac{1}{3}\)S_CBD Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_CPN = \(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 480 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = \(60\) (cm²)

Diện tích của tứ giác MNPQ là:

480 - (80 + 60 + 30 + 60) = 250(cm²)

Đáp số: 250  cm²

 

48

TICK CHO MINH VỚI

S_AMQ = \(\dfrac{2}{3}\)S_ABQ (vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)

S_ABQ  = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABD ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)

⇒ S_AMQ = \(\dfrac{2}{3}\) \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{6}\) S_ABCD  = 96 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 16 (cm²)

S_DPQ = S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)S_CDN  = (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{1}{2}\)CD)

S_CDN = \(\dfrac{1}{2}\)S_BCD ( Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{2}\) CB)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật) 

⇒ S_DPQ = S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD  = 96 \(\times\)\(\dfrac{1}{8}\) = 12 (cm²)

BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB

S_BMN = \(\dfrac{1}{3}\)S_ABN (Vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{3}\) AB)

S_ABN = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABC (Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{1}{2}\)BC)

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}\) S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)

⇒S_BMN = \(\dfrac{1}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 96 \(\times\) \(\dfrac{1}{12}\) = 8 (cm²)

S_MNPQ  = S_ABCD - (S_AMQ + S_DPQ + S_CPN + S_BMN)  

S_MNPQ = 96 - (16 + 12 + 12 + 8) = 48 (cm²)

Đáp số: 48 cm²

Diện tích tam giác ABM là 1/2 * AB * AM = 1/2 * AB * 1/3 AB = 1/6 * AB^2 Diện tích tam giác BCN là 1/2 * BC * BN = 1/2 * BC * 2/3 BC = 1/3 * BC^2 Diện tích tam giác CDP là 1/2 * CD * CP = 1/2 * CD * PD = 1/6 * CD^2 Diện tích tam giác DAQ là 1/2 * DA * DQ = 1/2 * DA * 1/3 DA = 1/6 * DA^2

Vậy tổng diện tích của 4 tam giác trên là:

1/6 * AB^2 + 1/3 * BC^2 + 1/6 * CD^2 + 1/6 * DA^2

 

Đường chéo AC chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * AC * AB/2 = 1/4 * AC * AB và 1/2 * AC * CD/2 = 1/4 * AC * CD Đường chéo BD cũng chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * BD * BC/2 = 1/4 * BD * BC và 1/2 * BD * DA/2 = 1/4 * BD * DA

Do đó, ta có:

Diện tích tam giác EFG là 1/2 * EF * EG = 1/2 * (AC/2) * (BD/2) = 1/8 * AC * BD

Vậy diện tích hình MNPQ bằng:

2 * diện tích tam giác EFG = 2 * 1/8 * AC * BD = 1/4 * AB * CD

Từ đó, ta suy ra diện tích hình MNPQ là 1/4 diện tích hình chữ nhật ABCD:

Diện tích hình MNPQ = 1/4 * 324 cm^2 = 81 cm^2

` @ L I N H `

Diện tích tam giác ABM là 1/2 * AB * AM = 1/2 * AB * 1/3 AB = 1/6 * AB^2 Diện tích tam giác BCN là 1/2 * BC * BN = 1/2 * BC * 2/3 BC = 1/3 * BC^2 Diện tích tam giác CDP là 1/2 * CD * CP = 1/2 * CD * PD = 1/6 * CD^2 Diện tích tam giác DAQ là 1/2 * DA * DQ = 1/2 * DA * 1/3 DA = 1/6 * DA^2

Vậy tổng diện tích của 4 tam giác trên là:

1/6 * AB^2 + 1/3 * BC^2 + 1/6 * CD^2 + 1/6 * DA^2

Đường chéo AC chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * AC * AB/2 = 1/4 * AC * AB và 1/2 * AC * CD/2 = 1/4 * AC * CD Đường chéo BD cũng chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * BD * BC/2 = 1/4 * BD * BC và 1/2 * BD * DA/2 = 1/4 * BD * DA

Do đó, ta có:

Diện tích tam giác EFG là 1/2 * EF * EG = 1/2 * (AC/2) * (BD/2) = 1/8 * AC * BD

Vậy diện tích hình MNPQ bằng:

2 * diện tích tam giác EFG = 2 * 1/8 * AC * BD = 1/4 * AB * CD

Từ đó, ta suy ra diện tích hình MNPQ là 1/4 diện tích hình chữ nhật ABCD:

Diện tích hình MNPQ = 1/4 * 324 cm^2 = 81 cm^2