Cho điểm P nằm trong tam giác ABC. Một đường thẳng qua P cắt AB,AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
\(S_{ABC}\ge8\sqrt{S_{BMP}.S_{CNP}}\)
Cho điểm P nằm trong tam giác ABC, đường thẳng đi qua P cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Chứng minh
\(S_{ABC}\ge8\sqrt{S_{BPM}.S_{CPN}}\)
Cho tam giác ABC và một điểm H nằm trong tam giác. Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại B' và C'.
Chứng minh \(S_{ABC}>S_{AB'C'}.\)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), đường cao AD. Gọi M,N theo thứ tự là điểm đối xứng của D qua AB, AC. Đoạn thẳng MD cắt AB tại E, ND cắt AC tại F, MN cắt AB,AC lần lượt tại I, K.
Chứng minh : \(S_{AEF}=S_{ABC}.sin^2B.sin^2C\)
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Trên AB, CD lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho AM= MN= NB, CP= PQ= QD. Chứng minh rằng \(S_{MNPQ}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.\)
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên một nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng các hình bình hành BCEF, ACKL, ABMN sao cho E, F lần lượt nằm trên KL, MN. Chứng minh rằng \(S_{BCEF}=S_{ACKL}+S_{ABMN}.\)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. P là điểm bất kì nằm trong tứ giác ABCD sao cho \(S_{APB}+S_{CPD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.\)Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng.
Giúp mình với! Mình cần gấp.
Bai 1
Bo de : \(\Delta ABC\) trung tuyen AD
\(\Rightarrow S_{ADB}=S_{ADC}\)
cai nay ban tu chung minh nha
Ap dung bo de va bai nay => \(S_{MNPQ}=S_{MQP}+S_{MNP}=\frac{1}{3}S_{MDC}+\frac{1}{3}S_{ABP}\)
ta phai chung minh \(S_{MDC}+S_{ABP}=S_{ABCD}\)
That vay co \(S_{AMP}=S_{AMD},S_{MBP}=S_{MBC}\)
=> \(S_{ABP}+S_{MDC}=S_{ADM}+S_{MDC}+S_{MBC}=S_{ABCD}\)
=> dpcm
Hình như sai ở dòng thứ 2 từ dưới lên trên ấy
dung toi do ban chac ban ve hinh khac mik nen chac nhin khong giong thoi chu mik kiem tra lai roi do
Cho tam giác ABC , D là điểm thay đổi nằm giữa A và B. kẻ đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E.
a, chứng minh rằng \(\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=\frac{BD.AD}{AB^2}\)
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Qua M kẻ đường thẳng DE, IJ, FG tương ứng song song với các cạnh BC, CA, AB (G, I thuộc BC; E, F thuộc CA; D, I thuộc AB). Chứng minh: \(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\le\dfrac{2}{3}S_{ABC}\)
Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy điểm M bất kỳ. Qua M kẻ đường thẳng song song vối BC cất AB tại N , và đường thẳng song song vối AB cắt BC tại P . Chứng minh
\(\left(S_{BNP}\right)^2=S_{AMN}.S_{CMP}\)
Gọi PH và NF là 2 đường cao của \(\Delta\)BNP; CK và AE lần lượt là đường cao của \(\Delta\)CMP và \(\Delta\)AMN
Xét tứ giác BNMP có: BN // MP; MN // BP => Tứ giác BNMP là hình bình hành
=> MP = BN; MN = BP
Ta có: \(S_{CMP}=\frac{CK.MP}{2};S_{BNP}=\frac{PH.BN}{2}\Rightarrow\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{CK}{PH}\)(Do MP = BN) (1)
MP // BN => ^MPC = ^NBC (Đồng vị) Hay ^KPC = ^HBP.
Xét \(\Delta\)CKP và \(\Delta\)PHB có: ^CKP = ^PHB (=900); ^KPC = ^HBP
=> \(\Delta\)CKP ~ \(\Delta\)PHB (g.g)\(\Rightarrow\frac{CK}{PH}=\frac{CP}{PB}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{CP}{PB}\). Mà \(\frac{CP}{PB}=\frac{CM}{MA}\)(ĐL Thales) \(\Rightarrow\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{CM}{MA}\)(*)
Tương tự: \(\frac{S_{BNP}}{S_{AMN}}=\frac{NF}{AE}\). \(\Delta\)AEN ~ \(\Delta\)NFB (g.g) => \(\frac{NF}{AE}=\frac{BN}{NA}\)
\(\Rightarrow\frac{S_{BNP}}{S_{AMN}}=\frac{BN}{NA}=\frac{CM}{MA}\)(ĐL Thales) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{S_{BNP}}{S_{AMN}}\Rightarrow\left(S_{BNP}\right)^2=S_{AMN}.S_{CMP}\) (đpcm).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Đường thẳng d đi qua G cắt AB , AC lần lượt tại M,N
CMR: \(S_{\frac{ABC}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}}\)
Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F
Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC
Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)
Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)
\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).
Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.
ai fan one piece điểm danh cái
Gọi M là 1 điểm bất kì trong tam giác ABC. Qua M kẻ các đường thẳng DE, IJ, FG song song với AB, AC, AB. Chứng ming rằng:
\(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{\text{CEMJ}}\le\frac{2}{3}S_{ABC}\)