*Bạn tự vẽ kình nha

a) Xét \(\Delta\) IHC có J, M là trung điểm của IH,IC

=> JM là đường trung bình

=> +) JM = 1/2 HC

     +) JM // HC 

Có AK // BC mà H thuộc BC => AK // HC

                                            mà JM // HC (cmt) 

=>AK // JM

Lại có N là trung điểm của AK => +) N\(\in\)AK 

                                                  mà AK // JM (cmt) => AN // JM (1)

                                                      +) AN = 1/2 AK

Xét tứ giác AKNH có AK // Hc , AH // KC

=> AKNH là hình bình hành => AK = HC

                                            Có : AN = 1/2 AK

                                                    JM = 1/2 HC

=> AN = JM (2)

Từ (1) và (2) => tứ giác ANMJ là hình bình hành

Xem lại đề nhà bạn, BI vuông góc với MN thì hơi vô lí, BI vuông góc với AN thôi

Gọi gia điểm của AJ và BI là G. và giao điểm của AH và BI là O.

Ta c/m đc : IH=IC => \(\frac{1}{2}.IH=\frac{1}{2}.IC\)=> JH=\(\frac{1}{2}.IC\) (vì  J là t/đ của HI)=> \(\frac{JH}{IC}=\frac{1}{2}\)  

Mặt khác : \(\frac{AH}{BC}=\frac{1}{2}\) (vì tg ABC vuông cân tai A)  . Nên \(\frac{JH}{IC}=\frac{AH}{BC}\)

xét tg AJH và tg BIC có: \(\frac{JH}{IC}=\frac{AH}{BC}\)(cmt) ; ^AHJ=^BCI (cùng phụ vs ^IHC)

=> tg AJH đ.dạng vs tg BIC(c.g.c)=> ^HAJ=^CBI   

Xét tg BOH có: ^OBH+^BHO+^HOB=180( t/c tổng các góc trong tg)=> ^OBH+90+^HOB=180 (vì ^BHO=90)      (1)

Xét tg AOG có: ^OAG+^AGO+^GOA=180(......................................)   (2)

Từ (1),(2) => ^OBH+90+^HOB=^OAG+^AGO+^GOA

mà  ^OBH=^OAG (vì ^HAJ=^CBI) ; ^HOB=^GOA (đ.đ) nên ^AGO=90 => BI vuông góc vs AJ. Mà AJ//MN(vì tg AJMN là hbh) nên BI vuông góc vs MN (đpcm)

Hình tự vẽ :(
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(HK\) và \(MN\)
\(\Rightarrow KQ\) là đường trung tuyến của \(\Delta MNK\Rightarrow QM=QN\)
Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta KNM\) \(\left(\widehat{M}=\widehat{K}=90^o\right)\)
ta có: \(\widehat{N}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta MNI\sim\Delta KNM\) \(\left(g-g\right)\)
mà \(\Delta KNM\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{K}\) \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MNI\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{M}\)
\(\Rightarrow MN=MI\) \(\Rightarrow MI=5\)
mà \(MK\) là đường cao của \(\Delta MNI\) 
\(\Rightarrow MK\) cũng là trung tuyến của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow KN=KI\)
Xét \(\Delta MNI\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(KN=KI\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow QK\) là đường trung bình của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow QK=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Xét \(\Delta MNP\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(HN=HP\) (\(H\) là trung điểm của \(NP\))
\(\Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta MNP\)
\(\Rightarrow QH=\dfrac{MP}{2}=\dfrac{13}{2}\)
Ta có \(QH=QK+HK\)
\(\Rightarrow HK=QH-QK=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}=4\)
Vậy \(HK=4\)

1) Ta có:

\(\hept{\begin{cases}IM=\frac{1}{2}HC\\AN=\frac{1}{2}AK\\HC=AK\end{cases}}\)\(\Rightarrow IM=AN\)

mà IM // AN

\(\Rightarrow\)AJMN là hình bình hành.

Sửa IM thành JM nhé. Mình nhầm.

????????

Giúp mình với các bạn ơi

a) Tam giác MNP cân tại M => ^MNP=^MPN hay ^ANP=^BPN.

=> MN=MP=> 1/2MN=1/2MP => AN=BP

Xét \(\Delta\)PNB & \(\Delta\)NPA:

NP chung

^BPN=^ANP    => \(\Delta\)PNB=\(\Delta\)NPA (c.g.c)

BP=AN

b) \(\Delta\)MNP : NB và PA là 2 đường trung tuyến, chúng cắt nhau tại I

=> MI là trung tuyến của \(\Delta\)MNP. Mà \(\Delta\)MNP cân tại M 

=> MI đồng thời là đường trung trực của \(\Delta\)MNP => MI là trung trực của NP. (đpcm)

c) Gọi giao điểm của MI và NP là K => MK đồng thời là đường phân giác của \(\Delta\)MNP

hay MK là phân giác ^NMP (1)

Xét \(\Delta\)MNH & \(\Delta\)MPH:

MN=MP

^MNH=^MPH       => \(\Delta\)MNH=\(\Delta\)MPH (Cạnh huyền, cạnh góc vuông)

MH chung

=> ^NMH=^PMH (2 góc tương ứng) => MH là phân giác ^NMP (2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm M,K,H thẳng hàng. Mà điểm I thuộc MK => M,I,H thẳng hàng (đpcm)

Nhớ k cho mình nhé!