1/ Chứng minh rằng:
6+62+63+64+...+699+6100 chia hết cho 259.
2/ Tính tổng sau:
1+2+3+4+5+6+...+998+999+100
3/ Có phải các số không phải số nguyên tố thì là hơp số không?
1 . Chứng minh rằng nếu a5 chia hết cho 5 thì a chia hết cho 5 .
2 . Chứng minh rằng nếu tích 5 số bằng 1 thì tổng của chúng không thể bằng 0 .
3 . Chứng minh rằng tồn tại một giá trị n thuộc N* sao cho n2 + n + 1 không phải lá số nguyên tố .
4 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 - 1 chia hết cho 24 .
1.Áp dụng định lý Fermat nhỏ.
1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5
Cách 2
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Do a nguyên nên a có 5 dạng:\(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)
Nếu \(a=5k\Rightarrow a^5-a=5k\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+1\Rightarrow a^5-a=a\cdot5k\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+2\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+20k+5\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+3\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+30k+10\right)⋮5\)
Nếu \(a=5k+4\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(5k+5\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)
Vậy \(a^5-a⋮5\)
1. Chứng minh rằng tổng các số ghi trên vé xổ số có 6 chữ số mà tổng 3 chữ số đầu bằng tổng 3 chữ số cuối thì chia hết cho 13 ( các chữ số đầu có thể bằng không )
2. Tìm số abcd biết rằng số đó chia hết cho tích ab và cd
3. Chứng minh rằng trong tất cả các số tự nhiên khác nhau có 7 chữ số lập bởi cả 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, không có 2 số nào mà một số chia hết chosố còn lại.
4. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
5. Hãy viết số 100 dưới dạng tổng các số lẽ lien tiếp.
6. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với n ( n là số tự nhiên, có thể gồm một hoặc nhiều chữ số ).
7. Tìm số tự nhiên x có chữ số tận cùng bằng 2, biết rằng x, 2x, 3x đều là các số có 3 chữ số và 9 chữ số của 3 số đó đều khác nhau và khác không.
8. Tìm số tự nhiên x có 6 chữ số, biết rằng các tích 2x, 3x, 4x, 5x, 6x cũng là số có 6 chữ số gồm cả 6 chữ số ấy.a. Cho biết 6 chữ số của số phải tìm là 1, 2, 4, 5, 7, 8.b. Giải bài toán nếu không cho điều kiện a.
9. Tìm số tự nhiên n lớn nhất để tích các số tự nhiên từ 1 đến 1000 chia hết cho 5n
Xem nội dung đầy đủ tại:http://123doc.org/document/2674306-tuyen-chon-toan-nang-cao-va-phat-trien-lop-6.htm
Cho p \(\ge\)5 là số nguyên tố sao cho 2.p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p+1 chia hết cho 6 và 2.p2+1 không phải là số nguyên tố.
Cho p \(\ge\)5 là số nguyên tố sao cho 2.p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p+1 chia hết cho 6 và 2.p2+1 không phải là số nguyên tố.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
1, Số tận cùng là 4 thì chia hết cho 2
2, Số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 4
3, Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 5
4, Nếu một số hạng của tổng không chia hết cho 7 thì tổng không chia hết cho 7
5, Số chia hết cho 9 có thể chia hết cho 3
6, Số chia hết cho 3 có thể chia hết cho 9
7, Nếu một số không chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó không chia hết cho 9
8, Nếu tổng các chữ số của số a chia hết cho 9 dư r thì số a chia hết cho 9 sư r
9, Số nguyên là số tự nhiên chỉ chia hể cho 1 và chính nó
10, Hợp số là số tự nhiên nhiều hơn 2 ước
11, Một số nguyên tố đều là số lẻ
12, không có số nguyên tố nào có chữ số hàng đơn vị là 5
13, Không có số nguyên tố lớn hơn 5 có chữ số tạn cùng là 0; 2; 4; 5; 6; 8
14, Nếu số tự nhiên a lớn hơn 7 và chia hết cho 7 thì a là hợp số
15, Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số cùng nhau là số nguyên tố
16, Hai số nguyên tố là hai số nguyên tố cùng nhau
17, Hai số 8 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau
1, Số tận cùng là 4 thì chia hết cho 2 Đ
2, Số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 4 Đ
3, Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 5 Đ
4, Nếu một số hạng của tổng không chia hết cho 7 thì tổng không chia hết cho 7 S
5, Số chia hết cho 9 có thể chia hết cho 3 Đ
6, Số chia hết cho 3 có thể chia hết cho 9 S
7, Nếu một số không chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó không chia hết cho 9 S
8, Nếu tổng các chữ số của số a chia hết cho 9 dư r thì số a chia hết cho 9 sư r Đ
9, Số nguyên là số tự nhiên chỉ chia hể cho 1 và chính nó S
10, Hợp số là số tự nhiên nhiều hơn 2 ước Đ
11, Một số nguyên tố đều là số lẻ S
12, không có số nguyên tố nào có chữ số hàng đơn vị là 5 S
13, Không có số nguyên tố lớn hơn 5 có chữ số tạn cùng là 0; 2; 4; 5; 6; 8 Đ
14, Nếu số tự nhiên a lớn hơn 7 và chia hết cho 7 thì a là hợp số Đ
15, Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số cùng nhau là số nguyên tố Đ
16, Hai số nguyên tố là hai số nguyên tố cùng nhau S
17, Hai số 8 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau S
ht
Số 2.10^2010+7 là hợp số hay nguyên tố? Vì Sao
Số 10^2010-1 là hợp số hay nguyên tố? Vì Sao
Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 không?cho 5 không
Cho A=11^9+11^8+...+11+1.Chứng minh rằng A chia hết cho 5
B=2+2^2+2^3+...+2^20.Chứng minh rằng B chia hết cho 5
Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 tận cùng phải là các số 2; 4; 6; 8. Như vậy, mỗi chục có 4 số. Từ 1 – 999 có 100 chục nên có 400 số
1. Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố
2. Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6
3. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là SNT. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6
4. Cho p và p + 4 là các SNT ( p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
5. Cho p và 8p - 1 là các SNT. Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số
6. Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là SNT : n + 1 : n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n + 13 ; n + 15
Giúp mk vs, mk đang cần gấp lắm nhé! Ai lm trc mk sẽ k cho. Các cậu bt lm bài nào thì chỉ cho mk nhé!
1
gọi số cần tìm là p.dễ thấy p lẻ
=>p=a+2 và p=b-2
=>a=p-2 và b=p+2
vì p-2,p,p+2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3
với p-2=3=>p=5=7-2(chọn)
p=3=>p=1+2(loại)
p+2=3=>p=1(loại)
vậy p=5
2
vì p1, p2, p3 là 3 số nguyên tố (SNT) > 3
theo giả thiết:
p3 = p2 + d = p1 + 2d (*)
=> d = p3 - p2 là số chẵn ( vì p3, p2 lẻ)
đặt d = 2m, xét các trường hợp:
* m = 3k => d chia hết cho 6
* m = 3k + 1: khi đó 3 số là:
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 2
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 4
do p1 là SNT > 3 nên p1 chia 3 dư 1 hoặc 2
nếu p1 chia 3 dư 1 => p2 = p1 + 6k + 2 chia hết cho 3 => p2 là hợp số (không thỏa gt)
nếu p1 chia 3 dư 2 => p3 = p1 + 12k + 4 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (---nt--)
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 1
* m = 3k + 2, khi đó 3 số là:
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 4
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 8
nếu p1 chia 3 dư 1 => p3 = p1 + 12k + 8 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (không thỏa gt)
nếu p 1 chia 3 dư 2 => p2 = p1 + 6k + 4 chia hết cho 3 => p2 là hợp số ( không thỏa gt)
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 2
vậy để p1, p 2, p 3 đồng thời là 3 SNT thì m = 3k => d = 2m = 6k chia hết cho 6.
3
ta có p,p+1,p+2 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.
mà p,p+2 là SNT >3 nên p,p+2 ko chia hết cho 3 và là số lẻ
=>p+1 chia hết cho 3 và p+1 chẵn=>p+1 chia hết cho 6
4
vì p là SNT >3=>p=3k+1 hoặc p=3k+2
với p=3k+1=>p+8=3k+9 chia hết cho 3
với p=3k+2=>p+4=3k+6 ko phải là SNT
vậy p+8 là hợp số
5
vì 8p-1 là SNt nên p>3=>8p ko chia hết cho 3
vì 8p,8p+1,8p-1 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.mà 8p,8p-1 là SNT >3=>8p+1 chia hết cho 3 và 8p+1>3
=>8p+1 là hợp số
6.
Ta có: Xét:
+n=0=>n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)
+n=1
=>n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)
+n=2
=>n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)
+n=3
=>n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)
+n=4
n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)
Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3
+n=4k+1
⇔n+3=4k+1+3=4k+4⇔n+3=4k+1+3=4k+4(hợp số,loại)
+n=4k+2
=>n+13=4k+2+13=4k+15n+13=4k+2+13=4k+15(hợp số,loại)
+n=4k+3
=>n+3=4k+3+3=4k+6n+3=4k+3+3=4k+6(hợp số,loại)
⇔n=4
4.vì p là số nguyên tố >3
nên p có dạng 3k+1;3k+2
xét p=3k+1 ta có :p+4=(3k+1)+4=3k+5(thỏa mãn)
xét p=3k+2 ta có: p+4=(3k+2)+4=3k+6 chia hết cho 3(trái với đề bài)
vậy p+8=(3k+1)+8=3k+9 chia hết cho 3
Vậy p+8 là hợp số
1. Gọi số M là số lẻ, Q là số chẵn, nguyên tố cần tìm là P ( P ≠ 2 vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, nhỏ nhất nên không thể là tổng)
- P = A + 2 ( M + Q = M )
- P = B - 2 ( M - Q = M )
- A = P - 2; B = P + 2
P + 2; P; P - 2 ⇒ 3 số lẻ liên tiếp.
- P ≠ 1 vì P là số nguyên tố.
- P ≠ 2 vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, nhỏ nhất nên không thể là tổng.
- P ≠ 3 vì 3 = A + 2; 3 = 1 + 2 ( 1 không phải là số nguyên tố )
- P = 5 vì A + 2 = 5 = B - 2
3 + 2 = 5 = 7 - 2
⇒ P = 5