Cho f( x ) = ax³+bx²+cx+d trong đó a,b,c,d thuộc Z và thỏa mãn b=3a+c. Chứng minh rằng f (1); f(2) là bình phương của một số nguyên.

Đọc thêm

Toán lớp 7

Do b=3a+c

Ta có:f(1)=a+b+c+d=4a+2c+d

f(-2)=-8a+4b-2c+d=-8a+4.(3a+c)-2c+d=-8a+12a+4c-2c+d=4a+2c+d

=>f(1).f(-2)=(4a+2c+d)²

=>f(1).f(-2) ko âm 

Do b=3a+c

ta sẽ có: f(1)=a+b+c+d=4a+2c+d

f(-2)=-8a+4b-2c+d=-8a+4.(3a+c)-2c+d=8a+12a+4c-2c+d=4a+2c+d

=>f(1).f(2)=(4a+2c+d)\(^2\)

=>f(1).f(2) không âm

chúc chị học tốt em mới lớp 6 nhưng có đi học thêm bài này cùng ác anh chị lớp 7 nên giúp chị ạ^^

Giải:

Thay \(b=3a+c\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(f\left(x\right)=ax^3+\left(3a+c\right)x^2+cx+d\)

\(=ax^3+3ax^2+cx^2+cx+d\)

Từ đó ta có:

\(f\left(1\right)=a.1^3+3a.1^2+c.1^2+c.1+d\)

\(=a+3a+c+c+d=4a+2c+d\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(f\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^3+3a.\left(-2\right)^2+c.\left(-2\right)^2\) \(+c.\left(-2\right)+d\)

\(=-8a+12a+4c-2c+d=\) \(4a+2c+d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:

\(f\left(1\right)=f\left(-2\right)\left(=4a+2c+d\right)\) (Đpcm)

Thay b = 3a + c vào f(x) ta được:

f(x) = ax³ + (3a+c)x² + cx + d

⇒ f(1) = a.1³ + 3a + c.1²+ c.1 + d

          = a + 3a + c + c + d

          = 4a + 2c + d

          = 4a + 2c + d                          (1)

f(2) = a.2³ + 3a + c.2² - c.2 + d

      = 8a + 3a + 4c - 2c + d

      = 4a + 2c + d                        (2)

Nhân vế cho vế của (1) và ( 2) ta được 

F(1).F(2)=(4a+2c+d).(4a+3c+d)

             =\(\left(4a+2c+d\right)^2\)

Vậy f(1).F(2) là số chính phương

Bài này đội tuyển toán help mik với

Thay b = 3a + c vào f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Ta có: ax³ + (3a + c)x² + cx + d = ax³ + 3ax² + cx² + cx + d

Lại có: f(1) = a . 1³ + 3a . 1² + c . 1² + c . 1 + d = a + 3a + c + c + d = 4a + 2c + d           (1)

và f(-2) = a . (-2)³ + 3a . (-2)² + c. (-2)² + c . (-2) + d = -8a + 12a + 4c - 2c + d = 4a + 2c + d          (2)

Từ (1) và (2) => f(1) = f(-2)   (đpcm)

Ta có : 

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=a.1^3+b.1^2+c.1+d\\f\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^3+b.\left(-2\right)^2+c.2+d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=a+b+c+d\\f\left(2\right)=a.-8+b.4+c.2+d\end{cases}}\)

Do  b = 3a = c 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=3a+3a+3a+d\\f\left(-2\right)=a.-8+3a.4+3a.2+d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=9a+d\\f\left(-2\right)=-8a+12a+6a+d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=9a+d\\f\left(-2\right)=10a+d\end{cases}}\)

Đến bước này , bạn tự làm tiếp nhé . 

Chúc bạn học tốt !!!