Lần lượt áp dụng định lý Talet trong các \(\Delta BCD,\Delta ABC,\Delta BEC\) ta có :

+) \(\Delta BCD:\hept{\begin{cases}KA//BC\\K\in DC,A\in BD\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{BD}\) (1)

+) \(\Delta ABC:\hept{\begin{cases}DE//BC\\D\in AB,E\in AC\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\) (2)

+) \(\Delta BEC:\hept{\begin{cases}AG//BC\\A\in EC,G\in BE\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{EC}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AG}{BC}\) \(\Rightarrow AK=AG\) mà\(A\in KG\left(A\in a\right)\)

\(\Rightarrow A\) là trung điểm của \(KG\) (đpcm)

Ta có: 

+) AG // BC => \(\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{AC}\)

+) AK//BC => \(\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{BD}\)

+) DE//AC => \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)

Từ 3 điều trên => \(\frac{AG}{BC}=\frac{AK}{BC}\)=> AG = AK 

Mặt khác A, K, G thẳng hàng

=> A là trung điểm KG

a: Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(DE=\dfrac{BC}{2}=3\left(cm\right)\)

b, kẻ AO // BC

góc OAK so le trong KFB 

=> góc OAK = góc KFB (tc)

xét tam giác AOK và tam giác BMK có : AK = KM (do ...)

góc AKO = góc MBK (đối đỉnh)

=> tam giác AOK = tam giác BMK (g-c-g)= 

=> AO = MB (đn)

có AO // BC mà góc EOA đồng vị EMC 

=> góc EOA = góc EMC (tc)    (1)

gọi EF cắt tia phân giác của góc BCA tại T 

EF _|_ CT (gt)

=> tam giác ETC vuông tại T và tam giác CTF vuông tại T 

=> góc CET = 90 - góc ECT và góc TMC = 90 - góc TCM 

có có TCM = góc ECT do CT là phân giác của góc ACB (gt)

=> góc CET = góc TMC   và (1)

=> góc  AEO = góc AOE 

=> tam giác AEO cân tại A (tc)

=> AE = AO mà AO = BM 

=> AE = BM

a, MB = MN (gt)

M nằm giữa N và B

=> M là trung điểm của NP (đn)

NI // AB (gt); xét tam giác ANB 

=> I là trung điểm của AN (đl)

b, 

câu a là sao vậy bn???

bạn nhầm đề bài rồi!

xy vuông góc với OA thì đường thẳng qua B vuông góc với OC(hay xy) thì không thể cắt được

MK nêu cách giải thôi nha! Lười quá!!!

a, CM tứ giác MEAD là hình bình hành.( bạn tự cm)

Vì tứ giác MEAD là hình bình hành nên 2 đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà điểm \(I\) là trung điểm của AM Suy ra \(I\) cũng là TĐ của DE

\(\Rightarrow I\in DE\) Suy ra \(I,D,E\) thẳng hàng

b, Kẻ \(IK\bot BC\) và \(AH\bot BC\) \((K,H \in BC)\)

Ta có

Vì  \(IA=IM\) và \(IK//AH\)

\(\Rightarrow MK=KH\) \(\Rightarrow \) \(IK\) là đường trung bình của \(\Delta AMH\)

\(\Rightarrow IK=\dfrac{AH}{2}\) (1)

Lại có: Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta AHC\)

\(\Rightarrow AH^2=AC^2-HC^2\)

             \(=AC^2-{\left(\dfrac{BC}{2}\right)}^2\) \(=AC^2-{\left(\dfrac{AC}{2}\right)}^2\) ( Do \(\Delta ABC\) đều)

             \(=AC^2-\dfrac{AC^2}{4}=\dfrac{3AC^2}{4}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt3 AC}{4}\) (2) 

Từ (1)(2) suy ra \(IK=\dfrac{\sqrt3}{8}AC\)

Vì AC không đổi nên \(IK\) ko đổi.

Khoảng cách từ \(I\) đến BC ko đổi suy ra khi M di chuyển trên BC thì \(I\) di chuyển trên đường thẳng song song với BC

và cách BC một khoảng =\(\dfrac{\sqrt3}{8}AC=\dfrac{\sqrt3}{8}BC\)

a) xét tam giác BAD ta có:

M là trung điểm AB (gt)

F là trung điểm BD (gt)

vậy MF là đường trung bình tam giác BAD

=>MF//AD và MF=1/2 AD (1)

xét tam giác ADC ta có:

P là trung điểm CD (gt)

E là trung điểm AC (gt)

vậy PE là đường trung bình tam giác ADC

=>PE//AD và PE=1/2 AD (2)

từ (1) và (2) => PE//MF và PE=MF=1/2 AD

tương tự như vậy với ME và PF ta có được ME//PF và ME=PF=1/2 BC

ta có:

ME=PF=1/2 BC (cmt)

MF=PE=1/2 AD (cmt)

AD=BC (gt)

vậy ME=PF=MF=PE 

=>MEPF là hình thoi

b) vẽ tứ giác MQPN. gọi giao điểm QN và MP là K

xét tam giác ABD ta có:

Q là trung điểm AD (gt)

M là trung điểm AB (gt)

vậy MQ là đường trung bình tam giác ABD

=> MQ//BD và MQ=1/2 BD (1)

xét tam giác CBD ta có:

P là trung điểm CD (gt)

N là trung điểm BC (gt)

vậy PN là đường trung bình tam giác CBD

=> PN//BD và PN=1/2 BD (2)

từ (1) và (2)=> PN//MQ và PN=MQ

=>MQPN là hình bình hành

mà QN và MP là hai đường chéo và K là giao điểm

=>K là trung điểm của QN và MP (3)

xét hình thoi MEPF ta có:

MP và EF là hai đường chéo

K là trung điểm MP (cmt)

=> K là trung điểm EF (4)

từ (3) và (4)=> QN,MP,EF đồng quy tại K.

bài này khá đơn giản nên bạn tự vẽ hình nha !