Ta có : \(\frac{10^{1995}+8}{9}=\left(1000...000+8\right)\div9=1000...0008\div9\)

                                               có 1995 c/s 0                               có 1994 c/s 0

Mà tổng các chữ số của \(1000...0008\)(có 1994 c/s 0) là 9 nên \(1000...008⋮9\)

Từ đó suy ra \(\frac{10^{1995}+8}{9}\)là một số tự nhiên  (đpcm)

Tổng các chữ số của 10¹⁹⁹⁵ là:

      1 + 0 . 1995 = 1.

=> Tổng các chữ số của 10¹⁹⁹⁵  + 8 là: 1 + 8 = 9 chia hết cho 9.

=> 10¹⁹⁹⁵ + 8 chia hết cho 9.

=> \(\frac{10^{1995}+8}{9}\) là 1 số tự nhiên.

Vậy ..........

Vì 10 chia 9 dư1=>10^1995 chia 9 dư 1

Vì 8 chia 9 dư 8

Mà 1+8=9 chia hết cho 9

=>10^1995+8/9 là số nguyên

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 
Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3. 
+ Với r = 0 thì a = 3.q + 3 
+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 
+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3. 

.

Không thể được đâu bạn ơi, giả sử như n = 2, thay vào phân số trên sẽ được kết quả là 8/9 >> không phải là phân số tối giản.

gọi ƯC( 3n+2 và 4n+1) là d

suy ra 3n+2 chia hết cho d và 4n+1 chia hết cho d

suy ra ( 3n+2) - ( 4n +1) chia hết cho d

        4(3n+2) - 3(4n+1)chia hết d

      12n+8- 12n-3 chia hết d

                8-3      chia hết d

                5         .............

Vì 3n+2vs 4n+1 là 2 số nguyên tố cung nhau

suy ra d=1

Vậy...............

Giả sử: 

Để \(\frac{3n+2}{4n+1}\)là p/s tối giản thì ƯC ( 3n+2 , 4n+1) = 1 hay 3n+2 và 4n+1 nguyên tố cùng nhau

Gọi a là ƯC (3n+2 , 4n+1)  

Suy ra \(\text{3n+2 - 4n+1}\)chia hết cho a

=>  8 -  3  chia hết cho d

Hay ƯC(3n+2 , 4n+1) = 5

HAy 3n+2 , 4n+1 nguyên tố cùng nhau

Vậy \(\frac{3n+2}{4n+1}\)tối giản

a)Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là k;k+1.k+2.k+3 
nếu k chia hết cho 4 thì -> điều phài cm 
nếu k chia cho 4 dư 1 thì k+3 chia hết cho 4 -> điều phài cm 
nếu k chia cho 4 dư 2 thì k+2 chia hết cho 4 -> điều phài cm 
nếu k chia cho 4 dư 3 thì k+1 chia hết cho 4 -> điều phài cm 

b)

Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2a và 2a+2.Ta có

2ax(2a+2)=4ax(a+1)chia hết cho 4.Suy ra 2a hoặc 2a+2 phải chia hết cho 4 mặt khác 2a+2a+2 = 4a+2 ko chia hết cho 4.

.Vậy  nếu 2a chia hết cho 4 thì 2a+2 ko chia hết cho 4 ngược lai nếu 2a+2 chia hết cho 4 thì 2a ko chia hết cho 4.

Vậy trong 2 số chẵn liên tiếp chỉ có 1 số chia hết cho 4.