Gọi a là số cần tìm

Vì a chia 2001 dư 23 suy ra a = 2001p + 23(p thuộc N)

Vì a chia 2003 dư 32  suy ra a = 2003q + 32(q thuộc N)

Suy ra 2001p+23=2003q+32              

          2001p-2001q=2q+32-23

         2001(p-q)=2q+9

Suy ra 2q+9 chia hết cho 2001

Mà a nhỏ nhất thì q nhỏ nhất

Nếu 2q+9=2001 suy ra q=996(chọn)

Với q=996 suy ra a=996 x 2003+32=1995020

Vậy số cần tìm là 1995020      

Gọi a là số cần tìm

Vì a chia 2001 dư 23 suy ra a = 2001p + 23(p thuộc N)

Vì a chia 2003 dư 32  suy ra a = 2003q + 32(q thuộc N)

Suy ra 2001p+23=2003q+32              

          2001p-2001q=2q+32-23

         2001(p-q)=2q+9

Suy ra 2q+9 chia hết cho 2001

Mà a nhỏ nhất thì q nhỏ nhất

Nếu 2q+9=2001 suy ra q=996(chọn)

Với q=996 suy ra a=996 x 2003+32=1995020

Vậy số cần tìm là 1995020      

Gọi số cần tìm là a, a \(\in\) N*, a nhỏ nhất

Vì a : 2001 dư 23 \(\Rightarrow a=2001m+23\)    (m,n \(\in\) N*)

    a : 2003 dư 32 \(\Rightarrow a=2003n+32\)

\(\Rightarrow2001m+23=2003n+32\)

\(\Rightarrow2001m+23=2001n+2n+32\)

\(\Rightarrow2001m-2001n=2n+32-23\)

\(\Rightarrow2001\left(m-n\right)=2n+9\)

\(\Rightarrow2n+9⋮2001\)

Để a nhỏ nhất thì n nhỏ nhất \(\Rightarrow\) 2n+9 nhỏ nhất

Nếu \(2n+9=2001\Rightarrow n=996\) (chọn)

Với \(n=996\) thì \(a=2003.996+32=1995020\)

Vậy số cần tìm là 1995020.

Ta có:

        7²⁰⁰⁴=7^4.501=A1

      =>A1:10=(A0+1):10=B0+1=B1=>7²⁰⁰⁴:10 dư 1

        3²⁰⁰³=3^4.500+3=3^4.500+3³=C1+27=D8:10 dư 8

Ta xét chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁴ và 3²⁰⁰³

ta có: 7²⁰⁰⁴ = 7^4.501 = (.....1)⁵⁰¹ = .........1 => tận cùng là 1 => chia 10 dư 1

ta có: 3²⁰⁰³ = 3^4.500+3 = (......1)⁵⁰⁰ . 3³ = (........1) . 27 = ......7 => tận cùng là 7 => chia 10 dư 7

Vậy: 7²⁰⁰⁴ chia 10 dư 1 ; 3²⁰⁰³ chia 10 dư 7

2003²⁰⁰⁴ khi chia cho 2001 số dư là 1591

Lời giải:
Theo định lý Fermat thì:

$2002^{18}\equiv 1\pmod {19}$

$\Rightarrow (2002^{18})^{111}.2002^5\equiv 2002^5\pmod {19}$

$2002\equiv 7\pmod {19}$

$\Rightarrow 2002^5\equiv 7^5\equiv 11\pmod {19}$

Vậy $2002^{2003}$ chia $19$ dư $11$