A =      \(\overline{abc}\) + \(\overline{cba}\) 

A = 100a + 10b +c + 100c +  10b + a

A =   100( a +c) + (c+a) + 20b

A = (a+c) (100 +1) + 20b

A = 9.101 + 20b

A = 909 + 20b

Để A là một số có 3 chữ số thì A \(\le\) 999

\(\Leftrightarrow\) 909 + 20b \(\le\) 999

\(\Leftrightarrow\) 20b \(\le\) 90

\(\Leftrightarrow\)b \(\le\) 9/2

\(\Leftrightarrow\) b \(\in\) { 0; 1; 2; 3; 4}

Vì abc<1000

=>a<7

=>abc<700

=> 1<=a,b,c<=5

Ta đi chứng minh trong 3 số a,b,c tồn tại một số bằng 5

Thật vậy: Giả sử cả 3 số a,b,c<=4

=>abc<=72<100 vô lí

Do đó a=5 hoặc b=5 hoặc c=5

*Nếu a=5

Ta có

500+bc=5!+b!+c!<=240+b!

=>b!+240>500

=>b!>260

=>b>5 vô lí

Nên a<=4

*Nếu b=5

Lập luận tương tự b<=4

*Nếu c=5

Tìm được a=1;b=4

Vậy…

abc=100a+ 10b +c =a! +b! +c!. 
0! = 1, 2! = 2, 3!= 6, 4! = 24, 5!= 120, 6!= 720, 7! = 5040 (4 chữ số) => a; b; c <7, a khác 0 
- xét trường hợp a= 6, thì 600+ 10b+ c= 720+b! + c! <=> 10b+ c =120 +b! +c! (vô lý vì b, c <7) 
- nếu a= 5 thì 500+ 10b +c = 120 +b!+ c! [vô lý vì vt >500, vp <360 (a=5, b=5, c=5)] ( vt= vế trái, vp= vế phải) 
- nếu a= 4 thì 400+ 10b +c = 24 +b!+ c! [vô lý vì vt >400, vp < 264 (a=4, b=5, c=5)] 
- nếu a= 3 thì 300+ 10b +c = 6 +b!+ c! [vô lý vì vt >300, vp <246 (a=3, b=5, c=5) ] 
các trường hợp a=5,4,3 thì b và c không thể là số 6, giá trị lớn nhất của b và c là 5 
- nếu a= 2 thì 200+ 10b +c = 2+b!+ c! <=> 128+ 10b+ c= b! + c! => b hoậc c là 5 
+ b= 5 thì 128+ 50 +c= 120+ c! (không tồn tại c ) 
+c=5 thì 128+10b+ 5= b! +120 (không tồn tại b ) 
=> a=1 và ta có 100+ 10b+ c= 1 +b! +c! => b hoặc c là 5 
+ b=5 thì 100+ 50+ c= 1 +120 +c! ( không tồn tại c) 
+c= 5 thì 100+ 10b+ 5= 1 +b! +120 <=> 10b= 16+ b! <=> b=4 
vậy abc= 145. 
bài giải hơi dài, nhưng suy nghĩ ra nghiệm dễ vì a, b, c chạy từ 0 đến 6

A \(\in\) { 0;1;2;3;4}

Gọi số cần tìm có dạng abcTa có: abc = 11 x (a+b+c)=> a x 100 + b x 10 + c = 11 x a + 11 x b + 11 x c=> 89 x a = b + 10 x cVì b; c lớn nhất là 9 nên a = 1 (Duy nhất=1)

Khi đó: 89 = b + 10 x c=> b = 89 - 10 x cVì b không thể số âm và b không thể có 2 chữ số

Nên c = 8 (Chỉ có thể bằng 8).Khi đó b = 89 - 10 x 8 = 9 => b = 9Vậy số cần tìm là 198