2) Vì p là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau:

a) Với p = 2 thì p + 10 = 2 + 10 = 12 là hợp số (loại), tương tự với p + 20 cũng là hợp số.

Với p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố (nhận); p + 20 = 3 + 20 = 23 là số nguyên tố (nhận)

Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p có dạng 3k + 1; 3k + 2

Với p = 3k + 1 => p + 10 = 3k + 1 + 10 = 3k + 11

N = 5 nhé bạn

vì n+4 và n+11 đều là số chính phương nên có hệ

\(\hept{\begin{cases}n+4=a^2\\n+11=b^2\end{cases}}\)trừ phương trình ta có :\(b^2-a^2=7\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b+a\right)=7\) do đó b-a và b+a là ước của 7 nên

n+4 và n+11 là các số chính phương

=> \(n+4=a^2\) ; \(n+11=b^2\)(*)

Do \(n+11>n+4\)=> \(b^2>a^2\)( a và b là số tự nhiên )

Có \(b^2-a^2=\left(n+11\right)-\left(n+4\right)\)

=>\(\left(b+a\right)\left(b-a\right)=n+11-n-4\)

=> \(\left(b+a\right)\left(b-a\right)=7\)

Ta có ước tự nhiên của 7 là các số: 1;7 (7 là số nguyên tố) Kết hợp với (b + a) > (b - a) (do a và b là số tự nhiên) ta có:

\(\left(b+a\right)=7;\left(b-a\right)=1\)

Cộng hai về b+a và b-a ta được:

\(\left(b+a\right)+\left(b-a\right)=7+1\)

=> \(b+a+b-a=8\)

=>\(2b=8\)

=>\(b=4\)

Thay b=4 vào (*) ta được :

\(n+11=b^2\)=> \(n+11=4^2=16\)=> \(n=16-11=5\)

Vậy n=5 thì n+4 và n+11 là các số chính phương.

Bạn ơi bài này phải cho thêm điều kiện n thuộc Z 

Đặt n^2+2006 = k^2 ( k thuộc N sao)

<=> -2006 = n^2-k^2 = (n-k).(n+k)

<=> n-k thuộc ước của -2006 ( vì n thuộc Z , k thuộc N sao nên n-k và n+k đểu thuộc Z)

Mà k thuộc N sao nên n-k < n+k

Từ đó, bạn tự giải bài toán nhưng nhớ kết hợp cả điều kiện n-k<n+k 

đẹp chưa?

Vì n² là số chính phương

\(\Rightarrow\) n² chia cho 4 dư 0 hoặc 1

Mà 2006 chia cho 4 dư 2

\(\Rightarrow\) n² + 2006 chia cho 4 dư 2 hoặc 3

\(\Rightarrow\) n² + 2006 không là số chính phương (vì số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1)

\(\Rightarrow\) Không có số n thỏa mãn đề bài.

Có SCP chia 8 dư 0;1;40;1;4.

Dễ dàng có: n=2kn=2k

(3k)2+427=t2⇔(t−3k)(t+3k)=6.71

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+1=a^2\\n+6=b^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=a^2-1\\n=b^2-6\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-1=b^2-6\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=-6+1=-5\\ \Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=-5\cdot1=-1\cdot5\)

Vì \(n+1< n+6\Rightarrow a< b\Rightarrow a-b< a+b\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a-b=-1\\a+b=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a-b=-5\\a+b=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow n=3\)

a)  đế  C và D cùng tồn tại thì:

\(\hept{\begin{cases}n-1\ne0\\n+1\ne0\end{cases}}\)  <=>  \(\hept{\begin{cases}n\ne1\\n\ne-1\end{cases}}\)

Vậy....

b)   (n là số nguyên)  

để C là số nguyên thì:   2 chia hết cho n - 1

hay n - 1 thuộc Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

=> n = {-1; 0; 2; 3}

Do n # -1   nên   n = { 0; 2; 3}

n = 0 thì D = 4  (t/m)

n = 2 thì D = 2  (t/m)

n = 3 thì D = 7/4  (loại)

Vậy n = {0; 2}  thì C và D đều nguyên

a) C và D cùng tồn tại khi \(n\ne\pm1\)

b) Để C là số nguyên

=> 2 chia hết cho n - 1

=> n - 1 thuộc Ư(2) ={1;-1;2;-2}

nếu n - 1 = 1 => n = 2

n - 1 = -1 => n = 0

n-1 = 2 => n = 3

n -1 = - 2 => n = -1 

Để \(D=\frac{n+4}{n+1}=\frac{n+1+3}{n+1}=1+\frac{3}{n+1}\)là số nguyên

=> 3 chia hết cho n + 1

=> n + 1 thuộc Ư(3)={1;-1;3;-3}

nếu n + 1 = 1 => n = 0 (TM)

n + 1 = - 1 => n = - 2 (Loại)

n + 1 = 3 => n = 2 (TM)

n + 1 = - 3 => n = - 4 (Loại)

KL: n = 0 hoặc n  = - 2 thì C và D đều là số nguyên