Chứng minh \(1< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}< 2\) với mọi số n là số nguyên dương
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta luôn có bất đẳng thức
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+3n+2}< \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+n+2n+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+2\right).\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng vs mọi số nguyên dương n thì :
\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\)
Với n = 1 thì ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\)
Giả sử bất đẳng thức trên đúng tới n = k hay
\(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Ta có: \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{3k+4}\)
\(=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}\right)+\left(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Ta đã có: \(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\) nên ta cần chứng minh
\(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)\left(3k+4\right)}>0\) đúng
Vậy theo quy nạp thì \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\) đúng với mọi n nguyên dương.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho t hỏi sao lại có đoạn \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+....+\frac{1}{3k+4}\)tòi ra và phải c/minh nó lớn hơn 0??
Chứng minh rằng với mọi n là số nguyên dương, ta có:
\(1\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{5}{3}\)
bạn Phạm Hữu Tiến, bạn mất dạy vừa thôi nha mình chưa làm j bạn, mình chỉ hỏi bài các bạn thôi, bạn không trả lời đc thì thôi chứ sao bạn lại nói tục như vậy?????????
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh \(1< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}< 2\) với n là sô nguyên dương
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) với mọi số nguyên dương n
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(< \left(1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
Xét số hạng tổng quát ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài tập, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)
chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
