a, Học sinh tự chứng minh

b, Học sinh tự chứng minh

c, Học sinh tự chứng minh

d, Chú ý:  B I A ^ = B M A ^ , B M C ^ = B K C ^

=> Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) cũng là đường tròn ngoại tiếp  DBIK. Trong (T), dây BC không đổi mà đường kính của (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ nhất bằng BC

Dấu "=" xảy ra <=>  B I C ^ = 90 0 => I ≡ A => MA

Lời giải:

1.

$\widehat{MDC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Leftrightarrow \widehat{BDC}=90^0$

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên là tgnt.

Do $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$

Mà $\widehat{BDA}=\widehat{MCS}$ (do $MDSC$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{MCS}$

$\Rightarrow CA$ là phân giác $\widehat{BCS}$

2.

Gọi $T$ là giao điểm của $BA$ và $EM$

Xét tam giác $BTC$ có $TE\perp BC$ (do $\widehat{MEC}=90^0$) và $CA\perp BT$ và $TE, CA$ giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $BTC$

$\Rightarrow BM\perp TC$.

Mà $BM\perp DC$ nên $TC\parallel DC$ hay $T,D,C$ thẳng hàng

Do đó $BA, EM, DC$ đồng quy tại $T$

3.

Vì $ABCD$ nt nên $\widehat{MAD}=\widehat{CAD}=\widehat{DBC}=\widehat{MBE}$

Dễ cm $BAME$ nội tiếp cho $\widehat{A}+\widehat{E}=90^0+90^0=180^0$ nên $\widehat{MBE}=\widehat{EAM}$

Do đó: $\widehat{MAD}=\widehat{EAM}$ nên $AM$ là tia phân giác $\widehat{EAM}(*)$

Mặt khác:

Cũng do $MECD,ABCD$ nội tiếp nên:

$\widehat{ADM}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{MCE}=\widehat{MDE}$

$\Rightarrow DM$ là tia phân giác $\widehat{ADE}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow M$ là tâm đường tròn nội tiếp $ADE$.

Hình vẽ:

  ⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.

D ∈ đường tròn đường kính MC

⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC

⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

hay tứ giác ABCD nội tiếp.

Hình bạn tự vẽ nha

a) Xét đường tròn đường kính MC

Ta có góc MDC=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa dt)

Hay góc BDC = 90 độ

Xét tứ giác BADC có 

Góc BAC =90 ĐỘ (GT)

Góc BDC =90 độ (cmt)

Mà hai đỉnh của góc này ở vị trí  kề nhau do đó tứ giác BADC nt đường tròn ĐK BC

tâm O của dt là trung điểm BC

b)Xét dt đk BC có 

Góc ADB=GÓC  ACB (hai góc nt cùng chắn cung AB)(1)

Xét đường dt đường kính MC có góc MDN= GÓC MCN (hai góc nt cùng chắn cung MN)

hay Góc BMN  = GÓC ABC (2) 

Từ (1) (2) suy ra Góc ADB = Góc BDN (= góc ABC)

=> BD là phần giác góc ADN (đpcm)

c)Xét tam giác ABC có

AM=MC(GT)

OB=OC (=BÁN KÍNH CỦA DT NGOẠI TIẾP TỨ GIÁC BADC)

=> OM lad đtb của tam giác ABC

Suy ra OM//AB (t/c Đtb)

Do đó Góc OMC = 90 độ

Suy ra OM là tt của dt dk MC

d)Xét dt dk MC có

Góc MNC = 90 dộ (góc nt chắn nửa dt)

Hay góc PNC =90 độ

Xét Tam giác BPC CÓ

BD vuông góc PC ( góc BDC =  90) (cmt)

AC vuông góc với PB (góc ABC =90)(GT)

Mà hai đường thẳng này cắt nhau tại M do đó M là trực tâm của tam giắc BPC

Mặc khác PN vuông góc BC (Góc BNC = 90 ĐỘ) (cmt)

Do đó PN sẽ đi qua M => Ba điểm P,N,C thẳng hàng

--------------------------------------------------Hết------------------------------------------

Bài làm còn nhiều thiếu xót đặc biệt là cach trình bày mặt dù tớ hiểu mong các góp  ý kiến đẻ mình hoàn thiện hơn