B = 11...100..00 + 22...22 (có n số 1; n số 0 và n số 2)

= 11..1 . 10ⁿ + 2. 11...1 (có n số 1)

= 11..1 . (10ⁿ + 2)            (1)

Đặt 11..1 = k => 9k = 99...9  => 9k + 1 = 100...00 = 10ⁿ

Thay vào (1) ta được B = k. (9k + 1 + 2) = k. (9k +3) = 3k.(3k +1)

Vì 3k; 3k +1 là 2 số tự nhiên liên tiếp => đpcm

111...1222...2 = 111...1. 10ⁿ + 222...2 = 111...1. 10ⁿ + 2. 111...1 (n chữ số 1)

= 111...1.(10ⁿ + 2)  (n chữ số 1)

Nhận xét: 10ⁿ = 999...9 + 1 (n chữ số 9)

= 9. 111...1 + 1

Đặt a = 111...1 => 111...1222...2 = a.(9a +1 + 2) = a.(9a+ 3) = 3a(3a + 1)

Nhận thấy : 3a ; 3a + 1 là số tự nhiên liên tiếp

=> đpcm

Ta thấy: 

12=3.4

1122=33.34

Từ đó suy ra 111.....111222222....22=33........3x333........34

                                                      |(50 số 3)|x|49 số 3 và 1 số 4

=33333.....333x3......3333334

 yêu cầu đề bài  là làm gì vậy bạn ?

Có  A=1111...112222...22

=>A=111...11 . 10¹⁰⁰+2 . 1111....11          (100 chữ số 1)

A=111....11.(10¹⁰⁰+2)          (có 100 chữ số 1)

A=1111....11.(1000...00+2)               (Có 100 chữ số 1 và 100 chữ số 0)

A=1111....11.100..02

A=111...11.3.33....34

A=3333...33 . 333....34

Vậy A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Có 3.4 = 12 

     33.34 = 1122

     333.334 = 111222

     3333 . 3334 = 11112222 

....

=> 111....111222....2222 ( gồm 2012 chữ số 2 và 2012 chữ số 1 ) = 3333..333 x 333.....33334 

* Lưu ý :

Số 3333...333 có 2012 chữ số 3 và số 333.....33334 có 2011 chữ số 3 và 1 chữ số 4 

Tớ nghĩ không phải như vậy 

Đặt 11......1 (n chữ số 1 ) =a ( a thuộc N )

=> 2222.....2(n chữ số 2) =2a

100....0(n chữ số 0) = 9a+1

=> 1111....1(2n chữ số 1) = a.(9a+1)+a

Khi đó : A = a.(9a+1)+a-2a = 9a^2+a+a-2a=9a^2 = (3a)^2 là số chính phương)

=> ĐPCM

Mình không hiểu luôn ak !!!!@@@