a) AE//MC,ME//AC=>AEMC là hình bình hành 
=>ME=AC 
CM tương tự có ADMB là hình bình hành=>AB=MD 
gọi P,Q lần lượt là giao của ABvới ME và AC với MD 
Có AP//MQ,AQ//MP=>APMQ là hình bình hành=>góc BAC=góc DME 
Chứng minh được tam giác ABC=tam giác MDE(c.g.c) 
b)AEMC,ADMB là hình bình hành=>AM cắt CE tại trung điểm của mỗi đường,AM cắt BD tại trung điểm của mỗi đường 
=>AM,BD,CE đồng quy(đpcm) 
Bài 1: 
a)Có góc EAC=90 độ+góc BAC=góc FAB 
tam giác EAC=tam giác BAF do EA=AB(tam giác AEB vuông cân tại A) 
AF=AC(tam giác AFC vuông cân tại A),góc EAB=góc BAF 
=>EC=BF(đpcm) 
b)Trên tia đối tia MA,lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN 
=>AM=AN/2 
Có M là trung điểm của BC=>ABNC là hình bình hành 
=>NC=AB=AE,BN=AC=AF,góc BAC+góc ACN=180 độ(AB//NC) 
Mà góc EAF+góc BAC=180 độ 
=>góc EAF=góc ACN 
tam giác EAF=tam giác NCA(do EA=NC,AF=CA,góc EAF=góc NCA) 
=>góc NAC=góc EFA và AN=EF 
Mà AM=AN/2=>AM=EF/2 
Gọi H là giao của AM và EF 
Có góc NAC+góc HAF=90.Mà góc NAC=góc EFA 
=>góc HAF+góc HFA=90 độ=>góc AHF =90 độ 
=>AM vuông góc với EF tại H

a) AE//MC,ME//AC=>AEMC là hình bình hành 
=>ME=AC 
CM tương tự có ADMB là hình bình hành=>AB=MD 
gọi P,Q lần lượt là giao của ABvới ME và AC với MD 
Có AP//MQ,AQ//MP=>APMQ là hình bình hành=>góc BAC=góc DME 
Chứng minh được tam giác ABC=tam giác MDE(c.g.c) 
b)AEMC,ADMB là hình bình hành=>AM cắt CE tại trung điểm của mỗi đường,AM cắt BD tại trung điểm của mỗi đường 
=>AM,BD,CE đồng quy(đpcm) 
Bài 1: 
a)Có góc EAC=90 độ+góc BAC=góc FAB 
tam giác EAC=tam giác BAF do EA=AB(tam giác AEB vuông cân tại A) 
AF=AC(tam giác AFC vuông cân tại A),góc EAB=góc BAF 
=>EC=BF(đpcm) 
b)Trên tia đối tia MA,lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN 
=>AM=AN/2 
Có M là trung điểm của BC=>ABNC là hình bình hành 
=>NC=AB=AE,BN=AC=AF,góc BAC+góc ACN=180 độ(AB//NC) 
Mà góc EAF+góc BAC=180 độ 
=>góc EAF=góc ACN 
tam giác EAF=tam giác NCA(do EA=NC,AF=CA,góc EAF=góc NCA) 
=>góc NAC=góc EFA và AN=EF 
Mà AM=AN/2=>AM=EF/2 
Gọi H là giao của AM và EF 
Có góc NAC+góc HAF=90.Mà góc NAC=góc EFA 
=>góc HAF+góc HFA=90 độ=>góc AHF =90 độ 
=>AM vuông góc với EF tại H

Xét ΔBAF và ΔEAC có

AB=AE

góc BAF=góc EAC

AF=AC

=>ΔBAF=ΔEAC

=>BF=CE

a)   Ta có:    \(\widehat{EAC}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

                 \(\widehat{BEF}=\widehat{CAF}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

suy ra:    \(\widehat{EAC}=\widehat{BAF}\)

Xét    \(\Delta EAC\)và     \(\Delta BAF\)có:

 \(EA=BA\)  (gt)

 \(\widehat{EAC}=\widehat{BAF}\)  (cmt)

 \(AC=AF\) (gt)

suy ra:   \(\Delta EAC=\Delta BAF\)  (c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(EC=BF\);     \(\widehat{ACE}=\widehat{AFB}\) (1)

Gọi    O  là giao điểm của  AC  và   BF;     K  là giao điểm của  EC  và   BF

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AOF}=\widehat{KOC}\)   (2)

\(\Delta AOF\)\(\perp\)\(A\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AFO}+\widehat{FOA}=90^0\)   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

      \(\widehat{KOC}+\widehat{OCK}=90^0\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{OKC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)\(BF\)\(\perp\)\(CE\)

3.1.Bài tập 1: 62- BTNC&MSCĐ/117)

  Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C'. Hai góc A và A'bù nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kéo dài một đoạn MD=MA.

Chứng minh: a.  góc ABD = góc A'

                      b. AM =  1/2 B'C'

( Bạn giải bài trên là có đáp án bài dưới)

Ta thấy: ABC và EAF có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp góc xen giữa chúng bù nhau nên trung tuyến AM = EF