Ta có tam giác ABC cân mà MN // BC. Nên \(\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\)(đồng vị)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)(tam giác ABC cân) nên \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\).

Vậy tam giác AMN cân tại A ( Tam giác có 2 góc bằng nhau)

a) Phần thuận :

Theo đề bài MD // AC, ME // AB (gt) nên tứ giác ADME là hình bình hành.

Do I là trung điểm của DE (gt), do đó I là trung điểm của AM.

Kẻ ,  thì IK // AH.

Trong tam giác MAH, IK là đường trung bình nên IK = AH.

Vì 

...chịu

a) Xét tứ giác MNCP có

MN // CP(gt)

MP // NC(gt)

\(\Rightarrow\)Tứ giác MNCP là hình bình hành

b) Xét hình bình hành MNCP là hình thoi 

\(\Leftrightarrow\)MN=MP

\(\Leftrightarrow\)Tam giác AMN= Tam giác MBP

Xét tam giác AMN và tam giác MBP có

\(\widehat{AMN}\)= \(\widehat{MBP}\)

\(\widehat{BMP}\)= \(\widehat{MAN}\)

Vậy để Tam giác AMN= Tam giác MBP 

\(\Leftrightarrow\)AM=MB

Vậy khi M là trung điểm của AB thì MNCP là Hình thoi

c) Hình bình hành MNCP là Hình chữ nhật

\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{C}\)=90 độ

\(\Leftrightarrow\)Tam giác ABC vuông tại C

Vậy khi Tam giác ABC vuông tại C thì MNCP là Hình chữ nhật

xét hình thang MDEC ta có

=> MD//EC

=>góc ACB =MDB (2 góc đồng vị)   (1)

mà ABC = ACB ( tam giác ABC là tam giác đều) (2)

TỪ (1) và (2) => ABC = MDB => hình thang FMBD là hình thang cân

a, Xét tứ giác MNPB có:

MN//PB (Vì MN//BC và P ϵ BC)

MB//NP (Vì AB//NP và M ϵ AB)

=> Tứ giác MNPB là hbh

b, Ta có:

M là trung điểm AB 

MN//BC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> N là trung điểm AC, MN=BC/2 và MN//BC

Xét 2 tam giác AMN và NPC có

AM=NP (Vì AM=BM, BM=NP)

AN=NC

MN=PC ( Vì MN=BC/2, MN=BP)

=> Tam giác AMN = Tam giác NPC (c.c.c)

a) Ta chứng minh \(\Delta HAB~\Delta OMN\). Thật vậy, từ đề bài, dễ thấy H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Vẽ đường tròn ngoại tiếp này. Dựng đường kính AD của (O). AH cắt BC tại E.

 Ta thấy \(\widehat{ACD}=\widehat{AEB}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{ADC}=\widehat{ABE}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\)). \(\Rightarrow\Delta ACD~\Delta AEB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAO}\)

 Mà \(\widehat{CAO}=\widehat{OCA}\), thêm vào đó tứ giác OMCN nội tiếp (vì \(\widehat{OMC}=\widehat{ONC}=90^o\)) nên \(\widehat{OMN}=\widehat{OCN}\). Do đó \(\widehat{HAB}=\widehat{OMN}\)

 Hoàn toàn tương tự, ta suy ra \(\widehat{HBA}=\widehat{ONM}\). Từ đó suy ra \(\Delta HAB~\Delta OMN\left(g.g\right)\) (đpcm)

b) Ta thấy BH//CD\(\left(\perp AC\right)\) và CH//BD\(\left(\perp AB\right)\) nên tứ giác BDCH là hình bình hành. Mà M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm của DH. Lại có O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình của tam giác DHA \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OM//AH\\OM=\dfrac{1}{2}AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\\\dfrac{AH}{OM}=\dfrac{GA}{GM}\left(=2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHG~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\) (đpcm)

c) Từ \(\Delta AHG~\Delta MOG\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)

Do A, G, M thẳng hàng nên \(\widehat{AGH}+\widehat{HGM}=180^o\) 

Từ đó suy ra \(\widehat{HGM}+\widehat{MGO}=180^o\) \(\Rightarrow\) H, O, G thẳng hàng.