Cho ƯCLN(n + 3 ; 2n + 5) = d

n + 3 chia hết cho d => 2n + 6 chia hết cho d

=> [(2n + 6) - (2n + 5)] chia hết cho d

1 chia hết cho d => d = 1

Vậy ƯC(n + 3 ; 2n + 5) = 1

=> ĐPCM

uk. thế đó. đpcm cho đẹp ý

\(a;\frac{2n+5}{n+3}\)

Gọi \(d\inƯC\left(2n+5;n+3\right)\Rightarrow3n+5⋮d;n+3⋮d\)

\(\Rightarrow2n+5⋮d\)và \(2\left(n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{2n+5}{n+3}\)là phân số tối giản

\(B=\frac{2n+5}{n+3}=\frac{2\left(n+3\right)+5-6}{n+3}=\frac{2\left(n+3\right)-1}{n+3}=2-\frac{1}{n+3}\)

Với \(B\in Z\)để n là số nguyên 

\(\Rightarrow1⋮n+3\Rightarrow n+3\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-2;-4\right\}\)

Vậy.....................

a, \(\frac{2n+5}{n+3}\)Đặt \(2n+5;n+3=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(2n+5⋮d\) ; \(n+3⋮d\Rightarrow2n+6\)

Suy ra : \(2n+5-2n-6⋮d\Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy tta có đpcm 

b, \(B=\frac{2n+5}{n+3}=\frac{2\left(n+3\right)-1}{n+3}=\frac{-1}{n+3}=\frac{1}{-n-3}\)

hay \(-n-3\inƯ\left\{1\right\}=\left\{\pm1\right\}\)

đặt A=1+2+3...+n

=>A=n(n+1)/2

+)giả sử aaa=a.111 (a khác 0)

=>n(n+1)/2=111.a=3.37.a =>n(n+1)=2.3.37.a

=>n(n+1) chia hết cho 37,mà 37 là số nguyên tố=>n chia hết cho 37 hoặc n+1 chia hết cho 37

+)lập luận:

* n=74,ko thỏa mãn=>n<74 =>n=37 hoặc n+1=37

*n=37 =>n+1=38 khi đó n(n+1)/2=703,ko thỏa mãn

*n+1=37=>n=36 khi đó n(n+1)/2=666 thỏa mãn

vậy n=36

nhớ ****
 

\(\frac{2n+3}{7}=\frac{2n-4+7}{7}=\frac{2\left(n-2\right)+7}{7}=1+\frac{2\left(n-2\right)}{7}\)

Để \(1+\frac{2\left(n-2\right)}{7}\) là số nguyên <=> \(\frac{2\left(n-2\right)}{7}\) là số nguyên

Mà ( 2;7 ) = 1 => n - 2 chia hết co 7 hay n - 2 = 7k ( k thuộc N^* )

=> n = 7k + 2

Vậy với n = 7k + 2 thì \(\frac{2n+3}{7}\) có gt nguyên

nếu p/s =1 thì ta có

(1-3/7):2

=(7/7-3/7):2

=4/7:2

=2/7

100%

các trg hợp khac cug thế thôi

a) Ta có:

\(5⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\in U\left(5\right)=\left\{1;5\right\}\) ( Vì \(n\in N\) )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1=1\Rightarrow n=0\\n+1=5\Rightarrow n=4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n\in\left\{0;4\right\}\)

b) Ta có:

\(15⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\in U\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}\) ( Vì \(n\in N\) )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1=1\Rightarrow n=0\\n+1=3\Rightarrow n=2\\n+1=5\Rightarrow n=4\\n+1=15\Rightarrow n=14\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n\in\left\{0;2;4;14\right\}\)

c) Ta có:

\(n+3⋮n+1\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)+2⋮n+1\)

\(\Rightarrow2⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\in U\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\) ( Vì \(n\in N\) )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1=1\Rightarrow n=0\\n+1=2\Rightarrow n=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n\in\left\{0;1\right\}\)

d) Ta có:

\(4n+3⋮2n+1\)

\(\Rightarrow\left(4n+2\right)+1⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2\left(2n+1\right)+1⋮2n+1\)

\(\Rightarrow1⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1\in U\left(1\right)=\left\{1\right\}\) ( Vì \(n\in N\) )

\(\Rightarrow2n+1=1\)

\(\Rightarrow n=0\)

Vậy \(n=0\)

để n+6/n là số nguyên thì n+6 chia hết cho n

mà n chia hết cho n =>6 chia hết cho n

n thuộc Ư(6)

n thuộc {-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}

mà n thuộc N =>n thuộc {1;2;3;6}

                       Giải

Để phân số \(\frac{6+n}{n}\inℤ\)thì \(\left(6+n\right)⋮n\)

Vì \(n⋮n\) nên \(6⋮n\)

\(\Leftrightarrow n\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)

Mà \(n\inℕ\) nên \(n\in\left\{1;2;3;6\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{1;2;3;6\right\}\)

2n-1= 2n+6 -7 = 2(n+3) -7 => để 2n-1 chia hết cho n+3 <=> 7 chia hết cho n+3 => n+3 thuộc ước của 7

=> n+3 thuộc { -7;-1;1;7} => n thuộc { -10;-4;-2;4}

Good Luck !

n-1/8 là số nguyên => n-1 chia hết cho 8

n-1 thuộc Ư(8)

n-1 thuộc {-8;-4;-2;-1;1;2;4;8}

n thuộc {-7;-3;-1;0;2;3;5;9}

mà n thuộc N => n thuộc {0;2;3;5;9}

n-1/8 là số nguyên => n-1 chia hết cho 8

n-1 thuộc Ư(8)

n-1 thuộc {-8;-4;-2;-1;1;2;4;8}

n thuộc {-7;-3;-1;0;2;3;5;9}

mà n thuộc N => n thuộc {0;2;3;5;9}