Từ \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c>\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac..\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac>0\Leftrightarrow\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-ac-bc>0\)

\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)+\left(c-1\right)+\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)>0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right) +\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[\left(ab-a\right)+\left(1-b\right)\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)

Ta xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Trong 3 nhân tử (a-1), (b-1), (c-1) có 2 nhân tử nhỏ hơn 0, một nhân tử lớn hơn 0

=> Trong 3 số a, b, c có 2 số nhỏ hơn 1 , một số lớn hơn 1 (1)

Trường hợp 2: 3 nhân tử (a-1), (b-1), (c-1) đều lớn hơn 0 

=> 3 số a, b,c lớn hơn 1 (2) 

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài làm

\(a+b+c\)\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)+\left(-ab+abc\right)+\left(c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+ab\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-a-b+ab+1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]\left(c-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)(đpcm)

Bạn Thiên thần nhỏ ơi, bạn không đọc đề à?

Đề bài là a+b+c>1/a+1/b+1/c , sao bạn lại đổi dấu thành dấu '='

Với lại người ta bắt chứng minh trong ba số a,b,c có một số lớn hơn 1 mà tại sao lại chứng minh ba số đó bằng 1

Thắc mắc tại sao lại có 2 ti ck đúng, có phải bạn gian lận điểm hỏi đáp?

Nói túm lại là cả bài của bạn sai hết trơn rồi
 

Áp dụng \(\frac{x}{y}>\frac{x}{y+m}\)   ( x,y,m là số tự nhiên lớn hơn 0)

Ta có \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\forall a,b,c dương\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a}\forall a,b,c dương\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\forall a,b,c dương\)

=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}\)

=> \(A>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Vậy A>1

Cảm ơn bạn Trang Nguyễn nhiều lắm! Bạn có thể giải thích giúp mình là vì sao dòng thứ 3 đếm từ dưới lên trên rồi đến dòng thứ 2 từ dưới lên trên lại là \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)=1 không?

1.

Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)  (1)

Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

2.

Ta có: a(b + n) = ab + an (1)

           b(a + n) = ab + bn (2)

Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)

Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)

Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)

\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\) BĐT Cô-si

Tương tự suy ra đpcm

Xét:A= \(\frac{a}{b}-\frac{a}{c}=a\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)=\frac{a\left(c-b\right)}{bc}\)

Vậy Nếu b<c => A>0 vậy phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn với tử dương và cùng tử

a, Theo đề bài ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)                                                     \((1)\)

Thêm ab vào hai vế của 1  :          \(ad+ab< bc+ab\)

                                                  \(a(b+d)< b(a+c)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)        \((2)\)

Thêm cd vào hai vế của 1 :           \(ad+cd< bc+cd\)

                                                  \(d(a+c)< c(b+d)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)           \((3)\)

Từ 2 và 3 suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

b, Theo câu a ta lần lượt có :

\(\frac{-1}{3}< \frac{-1}{4}\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)

\(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{3}{10}< \frac{-2}{7}\)

\(\frac{-1}{3}< \frac{-3}{10}\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{-4}{13}< \frac{-3}{10}\)

Vậy : \(\frac{-1}{3}< \frac{-4}{13}< \frac{-3}{10}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)

a.  ta có a\b < c\d nên

    ad < bc

    ad+ab < bc+ba                 

    a( d+b) < b( c+a)

    a\b < a+c\b+d    (1)

    ad<bc

   ad +cd < bc+cd

   d (a+c) < c(b+d)

   a+c\b+d< c\d     (2)

   Từ 1 và 2 suy ra     a\b < a+c\b+d < c\d

b. ta có -1\3 < -1\4

    nên  -1\3 < -2\7 < -3\11 < -4\15 < -1\4

c. Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên là đúng