Chung minh rang khong co ba so x,y,z thoa man \(\hept{\begin{cases}x< y-z\\y< z-x\\z< x-y\end{cases}}\)
cho x,y,z thoa man \(\hept{\begin{cases}xyz=2010^3\\xy+yz+zx< 2010\left(x+y+z\right)\end{cases}}\)
chung minh rang:trong 3 so co dung 1 so >2010
(goi y:dung phan chung de chung minh)
Ta xét:
\(\left(x-2010\right)\left(y-2010\right)\left(z-201\right)\)
\(=2010^2\left(x+y+z\right)-2010\left(xy+yz+zx\right)+xyz-2010^3\)
\(=2010\left[2010\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+zx\right)\right]>0\)
Vậy trong 3 số x, y, z có 1 số lớn hơn 2010 hoặc cả 3 số đều lớn hơn 2010.
Mà \(xyz=2010^3\)nên chỉ có trường hợp trong ba số đó có đúng 1 số lơn hơn 2010.
Ta xét:
(x−2010)(y−2010)(z−201)
=20102(x+y+z)−2010(xy+yz+zx)+xyz−20103
=2010[2010(x+y+z)−(xy+yz+zx)]>0
Vậy trong 3 số x, y, z có 1 số lớn hơn 2010 hoặc cả 3 số đều lớn hơn 2010.
Mà xyz=20103nên chỉ có trường hợp trong ba số đó có đúng 1 số lơn hơn 2010.
Ai trên 10 điểm hỏi đáp thì mình nha mình đang cần gấp chỉ còn 59 điểm là tròn rồi mong các bạn hỗ trợ mình sẽ đền bù xứng đáng
$⇔2(\sqrt{x}−2+\sqrt{y}−3+\sqrt{z}−5)=x+y+z−7$
$⇒(x−2−2\sqrt{x}−2+1)+(y−3−2\sqrt{y}−3+1)+(z−5−2\sqrt{z}−5+1)=0$
$⇒(\sqrt{x}−2−1)2+(\sqrt{y}−3−1)2+(\sqrt{z}−5−1)2=0$
a) Gọi 3 số cần tìm lần lượt là x;y;z. Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{2+3+5}=\frac{310}{10}=31\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=31\\\frac{y}{3}=31\\\frac{z}{5}=31\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=62\\y=93\\z=155\end{cases}}\)
Giải hệ phương trình:
a)\(\hept{\begin{cases}x\left(y+z\right)=8\\y\left(z+x\right)=18\\z\left(x+y\right)=20\end{cases}}\)
b)\(\hept{\begin{cases}5xy=6\left(x+y\right)\\7yz=12\left(y+z\right)\\3xz=4\left(x+z\right)\end{cases}}\)
c)\(\hept{\begin{cases}x+y+xy=1\\x+z+xz=2\\y+z+yz=5\end{cases}}\)
Tìm x , y , z thỏa man điều kiện \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
DK : \(x,y,z\ge\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có :
\(2x+2y+2z-\sqrt{4x-1}-\sqrt{4y-1}-\sqrt{4z-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)\)
\(+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy : \(VT\ge0\forall x,y,z\)
" = " \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
ĐK: \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
hệ pt <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}2x+2y=2\sqrt{4z-1}\\2y+2z=2\sqrt{4x-1}\\2z+2x=2\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
=> \(4x+4y+4z=2\sqrt{4z-1}+2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}\)
<=> \(\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
<=> \(\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}4x-1=1\\4y-1=1\\4z-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)(tm đk)
Thử vào thỏa mãn.
Vậy...
a, \(\hept{\begin{cases}\left(x+y+z\right)^2=3\left(xy+yz+xz\right)\\x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}=3^{2018}\end{cases}}\)
b,\(\hept{\begin{cases}x^3=y^3+9\\x-x^2=2y^2+4y\end{cases}}\)
c,\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{2017-y}=\sqrt{2017}\\\sqrt{y}+\sqrt{2017-x}=\sqrt{2017}\end{cases}}\)
d,\(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x^3+y^3=2z^2\end{cases}}\)với x,y,z là các số nguyên
a,PT 1 <=> (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0
=>x=y=z thay vào pt 2 ta dc x=y=z=3
c, xét x=y thay vào ta dc x=y=2017 hoặc x=y=0
Xét x>y => \(\sqrt{x}+\sqrt{2017-y}>\sqrt{y}+\sqrt{2017-x}\)
=>\(\sqrt{2017}>\sqrt{2017}\)(vô lí). TT x<y => vô lí. Vậy ...
d, pT 2 <=> x^2 - xy + y^2 = 2z = 2(x + y)
\(< =>x^2-x\left(y+2\right)+y^2-2y=0\). Để pt có no thì \(\Delta>0\)
<=> \(\left(y+2\right)^2-4\left(y^2-2y\right)\ge0\)
<=> \(-3y^2+12y+4\ge0\)<=>\(3\left(y-2\right)^2\le16\)
=> \(\left(y-2\right)^2\in\left\{1,2\right\}\). Từ đó tìm dc y rồi tìm nốt x
b,\(\hept{\begin{cases}x^3=y^3+9\\3x-3x^2=6y^2+12y\end{cases}}\).Cộng theo vế ta dc \(\left(x-1\right)^3=\left(y+2\right)^3\)=>x=y+3. Từ đó tìm dc x,y
Giải hệ phương trình:
a)\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=\frac{8}{3}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{12}{5}\\\frac{zx}{z+x}=\frac{24}{7}\end{cases}}\)
b)\(\hept{\begin{cases}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=z\\\frac{2z^2}{1+z^2}=x\end{cases}}\)
c)\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=2-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{cases}}\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=6\\2x+3y-5=-19\\4x+9y+25z=97\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x+y+z+t=4\\x+y-z-t=-4\\x-y-z-t=0\end{cases}}\)
b) Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: x,y,z. Vì x,y,z tỉ lệ nghịch với 2;3;5 nên
\(2x=3y=5z\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{\frac{1}{3}}=\frac{z}{\frac{1}{5}}\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{\frac{1}{3}}=\frac{z}{\frac{1}{5}}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{310}{\frac{31}{30}}=300\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{2}}=300\\\frac{y}{\frac{1}{3}}=300\\\frac{z}{\frac{1}{5}}=300\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}.300\\y=\frac{1}{3}.300\\z=\frac{1}{5}.300\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=150\\y=100\\z=60\end{cases}}\)
giải hệ phương trình sau, biết x,y,z > 0
\(\hept{\begin{cases}\left(x +y\right)\left(y+z\right)=187\\\left(y+z\right)\left(z+x\right)=154\\\left(z+x\right)\left(x+y\right)=238\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(y+z\right)=187\\\left(y+z\right)\left(z+x\right)=154\\\left(z+x\right)\left(x+y\right)=238\end{cases}}\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}\text{(x+y)(y+z)=187}\\\text{(y+z)(z+x)=154}\\\text{(z+x)(x+y)=238}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)(x+y)2(y+z)2(z+x)2=187.154.238 \(\Rightarrow\) (x+y)(y+z)(z+x)=2618
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}z+x=14\\x+y=17\\y+z=11\end{cases}}\) \(\Rightarrow\) 2(x+y+z)=14+17+11=42 \(\Rightarrow\) x+y+z=21 \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}y=7\\z=4\\x=10\end{cases}}\)
đặt x+y=a,y+z=b,z+y=c
hPt trở thành :ab=187,bc=154,ca=238
nhân hết 3 vế với nhau:\(a^2b^2c^2=6853924\)
Suy ra \(abc=2613\)nên c=abc:ab=2613:187=14.b và c tính tương tự
trở về ẩn cũ r giải nốt đi
Nhân ba vế với nhau ta được:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2=6853924\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\sqrt{6853924}=2818\)
Chia vế vừa tìm được cho ba vế đề bài cho :
\(\hept{\begin{cases}x+y=\frac{2618}{157}=17\\y+z=\frac{2618}{238}=11\\z+x=\frac{2618}{187}=14\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)=42\)
\(\Rightarrow x+y+z=21\)
\(\text{Vậy: }\hept{\begin{cases}x=21-11=10\\y=21-14=7\\z=21-17=4\end{cases}}=\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=10\\y=7\\z=4\end{cases}}\)